Nous établirons d'abord un lemme préliminaire

Si les quantités a, (3, y, 8, . . . sont des fractions propre^ ment ditesy on a la double inégalité

i>(i — a)(i — ;3)(i — y)(i — (î)...>i — (a-hp-f-y-f-iH-...).

La première inégalité est évidente, le produit d'un nombre quelconque de fractions étant toujours inférieur à i {Arithm., 206).

Quant à la seconde inégalité, considérons d'abord les deux premiers facteurs. On a

Si Ton néglige le terme positif «p dans le second membre de cette égalité, il en résulte

Multiplions les deux membres de celte inégalité par le troisième facteur i — y, ce qui est permis {Àlg. élém,, 215); nous aurons

(i-a)(i-;3)(i-y)>(i-y)-^(a + P)(i-y), c'est-à-dire

En négligeant dans le second membre de cette inégalité le terme positif {oi'\-^)y, on peut poser, a fortiori,

On continuera évidemment de la même manière et Ton arrivera à un résultat analogue, quel que soit le nombre des facteurs.

WO. Il résulte immédiatement du lemme qu'on vient de démontrer que le produit

a pour limite Vanité lorsque, rentier n étant quelconque^ mais constant et fini, V entier m croît indéfiniment. En effet, on a (M)9), pourvu que m surpasse n — i,

,>,,j.u.-iV.--^v..r.-»-

c'est-à-dire (274)

Le produit P est ainsi compris entre l'unité et une quantité qui a Tunité pour limite lorsqu'on fait croître m indéfiniment,

puisque l'expression ^^ — est un infiniment petit (336).

On a donc bien, pour /n = oo,

limP=::i,

411. Revenons maintenant à l'expression proposée. Supposons d'abord m très grand, mais fini, et développons

d'après la formule du binôme (255). Nous aurons

/ I X*" m \ mim — i) i

i-f--| — IH 1 ^= ^•— ï-H

m{m — i) ( m — 2), . .(m — /i-hi) i

Remarquons que, dans les différents termes du développement, à partir du deuxième, le numérateur contient toujours autant de facteurs qu'il y a d'unités dans l'exposant de la puissance de m, qui se trouve en dénominateur. On peut donc, dans chacun de ces termes, effectuer la division par la puissance correspondante de m en divisant chaque facteur du numérateur par m; si l'on remplace alors partout— par i, en n'écrivant pas ce facteur en dehors des parenthèses, l'exprès-

348 ALGEBBE SUPÉRIEURE.

sion considérée prend évidemment la forme

(iH =H 1 H -^^ ^-\ ^

Supposons à présent que m augmente en restant fini.

I 2 3 Les fractions — > — > — > •••> vont alors en diminuant, et il

en résulte que les facteurs i > i > i > •••? qui

* m ni m ^

entrent dans les numérateurs des différents termes du développement, vont en croissant. Ces termes, tous positifs, augmentent donc eux-mêmes, et Ton peut dire, par conséquent,

que l'expression fin \ croît en môme temps que m. Il

est facile de voir que c'est en s'approchant d'une certaine limite ^\\e.

Observons, en premier lieu, que les numérateurs des termes du développement sont, à partir du troisième terme, tous moindres que i; car ils sont composés de facteurs moindres que l'unité (V09).

Cela posé, comparons l'expression (i) à la série e (i-OO)