X III I

( 2 ) t' rz: I -h - H i -h ... H r, 4- . . . .

Les deux premiers termes sont les mêmes. Les autres termes ont les mômes dénominateurs; mais les numérateurs des termes du développement sont inférieurs aux numérateurs des termes de la série, qui sont tous égaux à l'unité.

L'expression (i) est donc moindre que la série c, pour deux raisons : les termes de l'expression (i) sont moindres que les termes correspondants de la série^ et la série est illimitée, tandis que l'expression (1) est composée d'un nombre fini de termes tant qu'on suppose m fini.

Si Ton fait croître /w, l'expression (i) comprend plus de termes, et elle augmente; mais le même raisonnement subsiste.

Par suile, Vexpression ( ih j , à mesure que m augmente^ tend vers une certaine limite fixe, inférieure à e ou, tout au plus, égale à e.

Il reste à démontrer que cette limite est rigoureusement e.

En effet, considérons à la fois les « -h i premiers termes du développement (i) et de la série (a), et supposons nfini,m9\s assez grand pour que la somme de la série diffère de la somme de ses (/n- i) premiers termes d'une quantité moindre que rinfiniment petit a (336). Comme on a trouvé (402)

n 1 . 2 . 3 . . . /e il suffit, pour que cette condition soit remplie, qu'on ait

Si nous désignons par <?;,+, la somme des n -\- i premiers termes de la série, nous aurons ainsi

(3) e — en^x<a.

D'autre part, à mesure que m croîtra, les numérateurs des termes du développement tendront tous vers Tunité autant qu'on voudra, d'après le lemme du n** 409, et auront tous pour limite Tunité lorsque m deviendra infini, puisque, par hypothèse, n reste constant et fini.

Les n -4- 1 premiers termes du développement tendront donc, à leur tour, respectivement vers les /i h- i premiers termes de la série et en approcheront autant qu'on voudra, pour m assez grand.

Si nous désignons par 2„+, la somme des n -h i premiers termes du développement, et si nous remarquons que, ^In-^x étant composée d'un nombre y?«i de termes, la somme de ces termes a pour limite la somme de leurs limites (342), on pourra toujours donner à m une valeur assez grande pour que la différence entre e^^^ et 2^,+, soit aussi moindre que a, de manière à avoir, comme nouvelle inégalité,

On aura donc, par addition des inégalités (3) et (4)»

35 O ALGÈBRE SUPÉRIEUEK.

Or nous avons montré que la limite de f in — j est moindi*e

que e, et celle limite est nécessairement supérieure à 2«+i. On peut, par suite, écrire a fortiori

— limfn ) <2a;

et, comme iol est un infmiment petit, on a rigoureusement, pour m :=ioo,

e r=:lim( I H J •

Conséquences.

412. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que m étail entier et positif . Nous allons prouver que, lorsqu'il reçoit des valeurs fractionnaires ou négatives, tout en croissant indéfiniment en valeur absolue, la limite de Texpression ( i -+- ■::: reste toujours la même.

413. I** Cas de fn fractionnaire. — Admettons que m, positif et croissant indéfiniment, puisse recevoir des valeurs fractionnaires.

Soient deux entiers consécutifs/? et/?-Hi, qui peuvent croître indéfiniment. S'ils comprennent toujours entre eux m, c'est-à-dire si l'on a constamment

7?</n</?-hi,

m remplira la même condition. On aura alors évidemment la double inégalité

car, dans la première, on élève une quantité moindre à une puissance plus faible et, dans la seconde, on élève une quantité plus grande à une puissance supérieure. Or cette double inégalité peut se mettre sous la forme

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 35 1

Lorsque le nombre fractionnaire m tend vers rinfini, il en

est de même des nombres entiers y? et/> h- i entre lesquels il

/ I \ />H-t doit toujours tomber. Les deux puissances f i H 1 et

( i-h - j ont donc alors e pour limite commune (41 1); et, en

même temps, l'unité est la limite commune du diviseur

n et du multiplicateur n Les deux expressions

extrêmes tendent donc vers la même limite e, de sorte que la quantité qu'elles comprennent remplit nécessairement la même condition, et qu'on peut poser, pour m — oo, dans Thypothèse de m fractionnaire comme dans celle de m entier,

e = lim( iH

kik. 2* Cas de m négatif. — Admettons que m puisse recevoir des valeurs négatives, tout en croissant indéfiniment en valeur absolue.

Nous poserons m = — m', m' étant supposé positif. Pour m=z—oo, 11 viendra m' ^^ oo.

Nous aurons alors successivement {^Ig. élém., 85)

/ iX"' / I V"' /m'— 1\-'«' f m' \

En effectuant la division de m' par m'—i, il viendra

\ mj \ m'—ij \ m'—ij \

Or, quand le nombre m', entier ou fractionnaire, mais positif,

tend vers l'infini, l'expression ( in -, 1 tend vers e

f (Mi), et le multiplicateur i h ; tend vers i. On a donc

encore, pour m ^z:-— oo,

eii=:lim( iH

415. En résumé, que m soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif, si sa valeur absolue tend vers l'infini, la limite de

l' expression ( iH ] est toujours égale à e.

352 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

C'est là un résultat important, qu'on a souvent à appliquer sous la forme suivante.