Si l'on fait croître x indéfiniment , le rapport — a
pour limite V infini quand a est >- 1, et zéro quand a est < i .
N'oublions pas que, lorsqu'on dit qu'un rapport a pour limite
Dk C. — Court, m. 26
4o2 ALGÈBBE SUPÉRIEURE.
Vinfini, cela signifie simplemenl (338) qu'il peut croître de manière à surpasser toute quantité donnée.
1° Soit a> I.
œ croissant indéfiniment, il en est de même de a^ (478, W5).
a étant un nombre positif convenable, on peut toujours
poser
a = i-l-a, d'où ai^=^a — i.
On a alors, par la formule du binôme, en donnant à x des valeurs entières et positives,
(i -\- olY— I -h ^a --1 ^ a*H-. . .,
c'est-à-dire, évidemment,
se ( JC — I \
(i -h aF> I -h xa -i- ^-î^ a*.
Remplaçons dans le premier membre i -f- a par a et divisons tout par X, Nous aurons
cl, a fortiori y
Comme x — i croît, en môme temps que x^ au delà de
qX
toute limite, on voit que - va constamment en augmentant
UL
à mesure qu'on fait croître Xy supposé entier et positif, et que, pour ^ =: oc, on a
lim — — 00.
Si Ton veut, par exemple, avoir
ii suffit de satisfaire à l'incgalité
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^3
c'est-à-dire, a étant a -— i, de donner à x une valeur entière égale ou supérieure à
Nous avons supposé x entier et positif; admettons qu'il devienne fractionnaire ou incommensurable, en restant positif.
Dans cette hypothèse, x croissant tombera toujours, à un
instant quelconque, entre deux entiers consécutifs /> et/? -+- 1,
qai croîtront en même temps que lui.
Mais, si l'on a
on a aussi, nécessairement (483),
el, a fortiori,
aP a"" aP-*-^
ce qu'on peut écrire
I aP-^^ a^ aP
p étant entier et croissant indéfiniment, les deux quantités extrêmes croîtront sans limites, comme on vient de l'établir. 11 en sera donc de même de la quantité intermédiaire.
2® Soit a < I .
A mesure que x augmente, a' diminue indéfmiment et a pour limite zéro (W8, 485). Il en est donc de même, afor-
tiori, du rapport —
Étude des variations de la fonction a^.
488. Nous allons chercher la série des valeurs prises par la fonction continue y =^ a*, quand on fait parcourir à la variable X toute l'échelle des grandeurs réelles, depuis — x jusqu'à -f- 00.
4o4 ALGÈBRE SUPÉRIECRE.
I® Soit a > I.
On sait que la fonction reste positive et va constamment en croissant avec la variable (478, kSi, kS^). Pour j:=:— 00, on a, évidemment,
lim y ~ lim a— =1 lim — =0.
Pour j) = o, on a (-4/^. élém.y 4.2)
Pour a? =:: H- 00, on a
limj r- lima" r- oc.
/ croissant constamment avec œ^ chaque valeur de la fonction ne se présente qu'une fois. Lorsque la variable parcourt toute réchelle des grandeurs réelles, la fonction parcourt toute Téchelle des grandeurs positives. Lorsque la variable varie de — 00 à o, c'est-à-dire reste négative, la fonction prend toutes les valeurs positives de o à i ou moindres que i; et, lorsque la variable varie de o à -+- 00, c'est-à-dire reste positive, la fonction prend toutes les valeurs positives de i à 00 ou plus grandes que i.
a» Soit a < I .
On sait que la fonction reste positive et va constamment en diminuant, à mesure que la variable croît (4>78, ii^l, 485). Pour j?=: — 00, on a, évidemment,
lim y — lima— = lim — = - rr. 00, ^ a" o
Pour vF = o, on a
j = aO=i.
Pour a?= r-00, on a
lim/ 1=: lima" =:o.
/ diminuant constamment avec .r, chaque valeur de la fonction ne se présente qu'une fois. La fonction parcourt encore toute réchelle des grandeurs positives pendant que la variable parcourt toute Téchelle des grandeurs réelles, mais en sens inverse. En d'autres termes, la fonction prend toutes les valeurs positives de 00 à i ou plus grandes que i, lorsque la
ALGÈBKE SUPÉRIEURE.
variable varie de — oo à o, c'est-à-dire reste négative; et elle prend toutes les valeurs positives de i à o ou moindres que \y lorsque la variable varie de o à -î- oo, c'est-à-dire reste posi^
tive.
&89. Cette discussion peut être utilement résumée dans le Tableau suivant et représentée par un tracé graphique correspondant {fig. i), sur l'exécution duquel nous n'avons pas à insister après les détails donnés à ce sujet en Algèbre élémentaire {Alg. élém., 312 et suiv.) :
— oc
crott o
croîl
o croît
croît
jr.
croît
o croît
décroît
décroît
La courbe qui s'élève à droite de la figure correspond à a>i; celle qui s'élève à gauche, à a<i. Ces deux courbes se coupent au point K situé sur Taxe des/ et tel que 0K= i, puisqu'elles présentent toutes deux une ordonnée égale à i
pour X ^=:o. Elles ont Taxe des x pour asymptote commune. Pour la première courbe, c'est la partie négative de cet axe qui est asymptote; pour la seconde courbe, c'est sa partie positive. En effet, lorsque a est > i , on a r == o pour ^ = — «; et, lorsque a est < i, on a j = o pour x:2iz-{-oo. Nous avons
a' vu (W7) que, dans le cas de a>i, la limite du rapport —
ou — est égale à l'infini, lorsque a? croît indéfiniment. L'or-
donnée de la première courbe croît donc beaucoup plus rapidement que son abscisse. Au contraire, dans le cas de a<i,
la limite du rapport — ou — est égale à zéro, lorsque a: croît
indéfiniment, et c'est l'abscisse de la seconde courbe qui croît beaucoup plus rapidement que son ordonnée ne décroît.
