ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
Définitions «t théorèmes préliminaires.
Exposants incommensnrables.
VJh. Quand la variable est en exposant, la fonction est dite exponentielle.
Nous allons l'étudier sous sa forme la plus simple
Nous supposons que a est un nombre donné positif , et que la variable x peut parcourir toute l'échelle des grandeurs réelles, de —00 à -^- oc (/4/^. élém,, 218).
W5. Quand x est commensurable, l'expression a* a un sens parfaitement déterminé.
Le cas de x entier ne présente aucune difficulté (128). Soit X — —y m ei n étant des entiers positifs. On a alors, par déflnition (HO),
«*=: rt" -=: y/a*".
Comme a est positif, si Ton convient de ne considérer que les valeurs arithmétiques des radicaux (131), a*" aura une
valeur positive, et il en sera de même de \/â^. C'est celle seule valeur que nous conserverons. II ne peut donc y avoir aucune ambiguïté.
Soit, enfin, x=^p, p étant un nombre entier positif ou un nombre fractionnaire à termes positifs. On a, dans ce cas»
par définition (1&5),
et aP ayant, d'après ce qu'on vient de dire, une seule valeur positive, la valeur de a^ est encore parfaitement déterminée.
476. Avant d'aller plus loin, remarquons qu'il est nécessaire de supposer a positif.
Si ce nombre constant était, en effet, négatif, a"* serait négatif pour m impair, et y^ aurait alors une valeur imaginaire pour toute valeur paire de n (130, q^). En faisant varier la valeur commensurable de x d'une manière quelconque, la Tonction a' pourrait donc être alternativement réelle et imaginaire, et nous ne voulons l'étudier ici que dans ses valeurs réelles et même positives.
Vn. II nous reste à examiner l'hypothèse de x incommensurable. Que signifie, dans ce cas, l'expression a^ et quelle interprétation doit-elle recevoir?
Quand X est un nombre incommensurable, on regarde a^ comme la limite des valeurs déterminées qu'on obtient en remplaçant X par des valeurs commensurables de plus en plus approchées (116 et suiv.)
Pour justifier cette définition, il faut prouver que la limite indiquée existe et qu'elle ne dépend pas de la manière dont on fait tendre les valeurs commensurables auxiliaires vers leur limite x.
Nous y parviendrons à l'aide des théorèmes suivants, d'ailleurs très utiles à connaître en dehors même de la question que nous traitons.
478. I. Les puissances entières successives d'un nombre positif plus grand que i , toujours supérieures à i , vont constamment en croissant et peuvent surpasser toute quantité donnée.
Les puissances entières successives d'un nombre positif plus petit que i, toujours inférieures à i, vont constamment en diminuant et ont zéro pour limite {Alg. élém,, 336).
Au lieu de s'appuyer sur les propriétés des progressions,
on peut d^ailleurs démontrer directement cette importante
proposition en faisant intervenir la formule du binôme (255).
En effet, 0c étant une quantité positive, tout nombre positif
plus grand que i peut être représenté par i + a et tout
nombre positif plus petit que i, par La formule du
binôme donnant
(i -r- (x)"^=zi -^ma-\ ^---;^ — -^a*
on â alors, évidemment,
(i -H a)"*-^* > (iH- a)'" et (i -h a)*" r> i -h ma;
En faisant croître indéOnimenl l'entier /?i, ces inégalités justifient renoncé.
W9. II. Les racines successives d'un nombre positif plus grand que i vont constamment en diminuant et ont l'unité pour limite inférieure.
Les racines successives d'un nombre positif plus petit que i vont constamment en augmentant et ont l'unité pour limite supérieure,
I <» Soit a :: • I .
Toute racine de a sera plus grande que i; car il n'y a qu'un nombre plus grand que 1, qui, élevé à une certaine puissance entière, puisse donner un nombre plus grand que i ((^78).
Cela posé, on a (138, 135)
tni-i/— m{m¥i)
sfar
rt'».
On en déduit
sfa
'\Jal I,
\fâ<iya.
Désignons maintenant par i une quantité positive aussi
ALGEBRE SUPÉRIEURE. igi
petite qu'on voudra» et posons
11 en résulte {Alg. élém., 217)
Cette inégalité sera satisfaite a fortiori (^78) si Ton a
Il suffit donc de prendre
pour que la racine /n**">«de <?, toujours supérieure à i, diffère de I d'une quantité inférieure à d.
2® Soit a < I .
Toute racine de a sera plus petite que i; car il n'y a qu^un nombre plus petit que i qui, élevé à une certaine puissance entière, puisse donner un nombre plus petit que i (478).
Cela posé et en suivant la même marche, on trouve comme précédemment (i*»)
fif—
i/(Z mim+i)/—
c'est-à-dire
Va::> va.
Remarquons maintenant que, a étant moindre que i, on peut poser, en désignant par a une quantité positive quelconque (W8),
Il en résulte (128, 129)
Or, i + a étant supérieur à i, on peut prendre m assez
grand pour que "\/i-h a, supérieure à i, diffère de i d'aussi peu qu'on voudra (i^). Il en sera donc alors de même de
IJ/à, toujours inférieure à i.
k80. III. Si a est plus grand que i, ses puissances positives sont plus grandes que i, et ses puissances négatives sont plus petites. C'est l'inverse, lorsque a est moindre que i .
Soit ûT >• I .
On a (4.79)
et
a-p— — <i, aP '
puisque aP est plus grand que i (478).
Soit a < I .
On a (W9 )
el
a-P— — >i, aP '
puisque aP est plus petit que i (WS).
481. IV. Quand on donne à l'exposant x des valeurs cornmensurables croissantes, la fonction a^ varie toujours dans le même sens, en augmentant quand a est plus grand que r, en diminuant quand a est pins petit que i.
Soit a'>i et q > p^ Nous aurons (480)
c'est-à-dire
Soit a < I etq^ p.
Nous aurons (480)
aP '
al > aP,
c'est-à-dire
af
^ —af'P<ï,
aP
at<aP.
ALGÈBRE SUPÉRIEUHE. SqD
i82. y. La fonction exponentielle simple y = a^ est une ponction CONTINUE {V^lf 460, 461).
n faut démontrer que si, à partir d'une valeur commensurable quelconque, la variable or croît d'une quantité commensurable A, la fonction / croît ou décroît d'une quantité Ar, qui tend vers zéro en même temps que h.
Les deux valeurs de la fonction étant
a^ et a*-^*,
l'accroissement k a pour expression , dans le cas de a > i
(Wl),
et, dans le cas de a < i (481),
Mais A, étant commensurable, peut toujours se mettre sous
la forme -• On a alors
Pour faire tendre h vers zéro, il suffit de faire croître p indéfiniment. Dans cette hypothèse, ^a tend autant qu'on veut vers l'unité (479), en restant supérieure à i et en décroissant quand a est plus grand que i, en restant infétieure à i et en croissant quand a est plus petit que i.
a* ayant une valeur déterminée, k tend donc toujours vers zéro en même temps que A, et la proposition est démontrée.
483. Nous pouvons maintenant définir rigoureusement In valeur de a', lorsque l'exposant x est incommensurable, en supposant d'abord a > i .
a' est, dans ce cas (481), un nombre plus grand que ceux qu'on obtient en remplaçant x par des valeurs commensurables plus petites, et un nombre plus petit que ceux qu'on obtient en remplaçant x par des valeurs comme ns arables plus grandes,
A mesure qu'on resserre les deux suites de nombres commensurables, en faisant croître, d'une manière quelconque. les valeurs commensurables plus petites que x et en faisant décroître, de même, les valeurs commensurables plus grandes.
396 ALGEBRB SUPÉRIEURE.
on approche autant qu'on veut, pour ces deux suites, d'une limite commune et déterminée, gui est la valeur de la fonction a^ pour la valeur incommensurable de x que Von considère.
En effet, si Ton donne à x des valeurs commensurables croissantes, plus petites que la valeur incommensurable dont il s'agit, on forme une suite de nombres que nous désignerons par (S) et qui vont en croissant (Wl) tout en restant phu: petits que a*. D'autre part, si l'on donne à x des valeurs commensurables décroissantes , plus grandes que cette même valeur incommensurable, on forme une autre suite de nombres (S'), qui vont en décroissant (481) tout en restant plus grands que a*.
Les nombres (S), étant plus petits qu'un nombre quelconque de la suite (S'), augmentent en s'approchant d'une certaine limite. Les nombres (S'), étant plus grands qu'un nombre quelconque de la suite (S), diminuent en s'approchant d'une certaine limite. Les deux limites sont d'ailleurs les mêmes; car, si met m' appartiennent respectivement aux deux séries d'exposants commensurables, les puissances a"^ et a"*' appartiennent aussi respectivement aux suites (S) et (S'); et leur
différence
peut être rendue aussi petite qu'on veut en rapprochant m et m' qui, par hypothèse, convergent vers x, puisque la fonction a^ est une fonction continue (iW2).
484. Nous venons de déOnir (483) a*, pour x incommensurable, dans le cas de a > i.
Si a est plus petit que i, on peut toujours le ramener à la
forme
a' étant plus grand que i. On a alors
et, comme a'^ est défini, a' le sera par cette formule même.
485. Il est évident, d'après ce qui précède (483), que toutes
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Sq^
les règles démontrées pour les exposants commensurables s'appliquent sans changement aux exposants incommensurables.
Supposons qu'on ait» par exemple, à multiplier a' par a^ , X eiy étant des nombres incommensurables. On a nécessairement (150)
On peut, en effet, considérer les deux suites indéfinies de nombres incommensurables» croissants ou décroissants (116 elsuiv.),
^If »^î> ^i9 • • •> *^a> • ' •» Xt9 y^y y 19 • • • • Yny • • • >
dont X et /• représentent respectivement les limites. Si Ton forme en même temps la suite
la limite d'une somme étant égale à la somme des limites des parties (342), cette nouvelle suite indéfinie aura pour limite
Il en résulte que les troi^ suites
Gf*^!, a'iy a^if . • • » ûf*», • . . , a^if ûf^*«, a^'f ...» a^ff • • «f
auront pour limites respectives a*, a^, a^-^î" et, comme on a constamment, et quel que soit n,
et que la limite d'un produit est égale au produit des limites des facteurs (343), on aura aussi (334)
Les autres règles connues s'ensuivront ou se démontreront de la même manière.
En d'autres termes, tout ce qui aura lieu pour des exposants commensurables s'étendra toujours au cas où ces exposants deviendraient incommensurables.
Propriété caractéristique de la fonction exponentielle.
M6. Proposons-nous de trouver la forme la plus générale de la fonction f^ telle qu'on ait^ pour toutes les valeurs réelles de X et de y y
La fonction exponentielle satisfait à cette condition, puisque, comme nous venons de le montrer (485), on a toujours
a"^ ax z=i a'-^y .
Il faut prouver qu'aucune autre fonction continue ne jouii de cette propriété qui caractérise, par suite, la fonction exponentielle.
D'abord, si une fonction / satisfait à la relation (i), quels que soient x et /, elle y satisfera encore quand on remplacera
à la fois X Qly par -> d'où
11 en résulte que la fonction / doit être positive, quel que soit X,
De même, si une fonction / satisfait à la relation (1), quels que soient j? et 7, elle y satisfera encore en supposant j égal à un multiple quelconque de x, c'est-^-dire
d'où, successivement,
OU
[/(^)]'=/(3^), ..., f(^)f[(^i-i)^]=^f(mx)
OU
[f(x)]'n=f{mx).
Ainsi, toute fonction /qui satisfait à la relation (i) satisfait aussi à la relation
(2) [f{^)]'^=f(nix).
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3gg
Nous allons étendre cette relation (2) à toutes les valeurs réelles de m, qu'elles soient fractionnaires au lieu d'être entières, ou négatives au lieu d*étre positives.
La relation (a) indique que la fonction /se trouve élevée ù la puissance m, quand la valeur arbitraire de la variable jc est multipliée par m.
Il en résulte qu'en divisant, au contraire, la variable par un nombre entier m, on obtient la racine m^*^^ de la fonction;
car, si l'on part de la valeur - de la variable et de la valeur corres
pondante/ ( — j de la fonction, on n'a qu'à multiplier
— par m pour obtenir la puissance /n**°»« de /( — ) Or, on trouve alors a: pour la variable; on doit donc trouver /(^) pour la puissance /«»*"»• de/( — h c'est-à-dire que/( — ) est précisén>ent la racine /w**"« de/{x). On peut donc écrire
C'est la détermination arithmétique qu'il faut prendre pour V/(^) ^t i^ ^*y ^ qu'une seule valeur à considérer, puisque,
d'après ce qui précède, /(-- ) doit être positive aussi bien
que /(a:).
On peut maintenant multiplier la variable a: par un nombre
commensurable quelconque -•
En effet, en prenant pour point de départ la relation (3) sous la forme
on a, en multipliant la variable - par l'entier/) et en élevant en même temps la fonction [/(^)]^ à la puissance/),
La fonction cherchée doit donc satisfaire à la relation (2 quel que soit jt, et pour toutes les valeurs commensurables
positives de m; par conséquent, aussi, pour toutes les valeurs incommensurables positives de m, d'après la théorie générale des limites (348); car, si /Wi, Wj, m^, ..., /n„, ... forment une suite de nombres commensurabies ayant pour limite le nombre incommensurable m, on aura, quel que soit l'indice choisi,
Lorsque n augmente indéflniment, m^ tend vers m par hypothèse et, en vertu de la continuité de la fonction exponentielle simple (482), x ayant une valeur déterminée, [/(^)]'"tend vers [/(^)]'"; d'autre part, ninX tend vers mœ et, la fonction cherchée étant supposée continue, /{m^x) tend en même temps vers/(/nar).
Ainsi, quelle que soit la \b\q\xv positive ùe /n, on a
[/(x)]-^/(/nj7).
Il reste à considérer les valeurs négatives de m. Si Ton remplace, dans la relation (i), 7 par — ^, on a
Pour connaître /(o), nous ferons / ~o dans la relation (i).
c'est-à-dire
Il en résulte '
Posons maintenant, m! étant un nombre positif quelconque.
m rr: — ni\
Nous aurons d'après la relation (4)> puisqu'on peut multiplier la variable par un nombre positif quelconque,
Mais, d'après la relation (2), f{m'x) n'est autre chose que [ /"(-^^ )]'"'• Par suite,
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^1
ce qui revient à
/{mx)=.[/{x)]
La relation (2) se trouve ainsi complètement généralisée.
Nous arrivons donc à ce résultat : toute fonction satisfaisant à la relation (i), quelles que soient les valeurs réelles de X et de y, satisfait à la relation (2), quelles que soient les valeurs réelles de jc et de m. On a donc le droit d'échanger X et m dans cette relation (a). Comme son premier membre demeure alors identique à lui-même, on a
(5) /{mx) ^ [Ax)r=z[/{m)r.
Si, en s'appuyant sur la relation (3), on extrait la racine m'*™» des deux termes extrêmes de la relation (5), il vient enfin
/{x) = [/{m)r=[/{mrY'
II s'ensuit que la fonction /(x) ne peut être que la puissance X d'une quantité indépendante de x, cette quantité indépendante étant une constante positive. Si on la désigne par a, on retrouve
La substitution de la relation (2) à la relation (1) n'a introduit d'ailleurs aucune solution étrangère; car, si Ton remplace, dans la relation (i),/(j?) par a^,/(y) par ay,/{x-^y) par a^-*-^, cette relation est satisfaite identiquement, quelle que soit la constante positive a.
L'exponentielle a^ est donc la fonction la plus générale répondant à la condition imposée.
Remarquons que, si Ton fait m = 1 dans la relation (6), on trouve
Cette constante est, par suite, la valent de la fonction ppur
Limite de — , quand x croit indéfiniment.
9JL
