X -{- x' -Jt- x" =z\0^a{bb' b
Il en résulte immédiatement, d'après les secondes égalités (en supprimant l'indice a, qui est inutile, puisque nous ne
considérons qu'une seule base ou que tous les logarithmes
sont pris dans le même système, et en renversant les deux
membres),
log ( hb' b") = log 6 -h log 6' -f- log 6'.
W4. IL Le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes du dividende et du diviseur.
Cette proposition découle immédiatement de la précédente, puisque le dividende est le produit du diviseur par le quotient.
Pour la démontrer directement, supposons
a* =1= ô, c'est-à-dire œ ■=. logô, a*' = 6', » ^' = log b'.
Divisons membre à membre les premières égalités. Nous aurons (485, ISO)
0*-*'=^, ou ^-^'^log^pV
Il en résulte, d'après les secondes égalités et en renversant les deux membres,
ïog(r/) = log6 — log^»'.
495. III. Le logarithme d' une puissance est égal au produit du logarithme du nombre élevé à la puissance par V exposant de cette puissance.
Supposons
a^ = by c'est-à-dire x =: log b.
m étant une quantité réelle quelconque, élevons à la puissance m les deux membres de la première égalité. Nous aurons (485, 150)
a'nx--i^m QQ ma: 1^ log 6'".
Il en résulte, d*après la seconde égaillé et en renversant les
deux membres,
log6'"=i:mlog^.
Soit, en particulier, m^=z -y p étant un entier positif. Il
4lO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
viendra alors (liO)
Le logarithme d'un radical est donc égal au logarithme de la quantité placée sous le radical, divisé /far T indice de ce radical,
4-96. IV. Dans tout système de logarithmes, le logarithme de la base est i, le logarithme de i est o, le logarithme de o est z^oc et le logarithme de i infini est ±: ce.
En effet, si, dans la relation a^^=i b qui déOnil le système de logarithmes adopté, on donne successivement à b les valeurs a, 1, o, oc, on trouve successivement (V88, W9)
.r TTz \ov;a ■=. i,
.r Tzz lo^i =o,
, ( suivant que a
" ^ esl>iou<i,
c'est-à-dire
X =: 10iroo=: ih 00
suivant que a est:>i ou<i.
WT. On donne aux logarithmes, tels que nous les avons considérés en Algèbre élémentaire, le nom de logarithmes arithmétiques, pour les distinguer des logarithmes algébriques.
On voit que les propriétés des logarithmes arithmétiques et des logarithmes algéhri(|ues sont absolument les mômes.
On se servira donc des logarithmes algébriques comme des logarithmes arithmétiques, pour simplifier les opérations numériques, en ramenant les opérations les plus compliquées aux opérations les plus simples, comme il a été indiqué précédemment {Alg, é/ém., 355).
Il suffit, pour cela, de construire des Tables, dites Tables de logarithmes. Nous sommes entré, au sujet de la construction et de l'usage des Tables, dans les détails les plus circonstanciés (voir Alg, élém., 358 à ^V^, et Trigonom,, 119 à 136). Nous y renverrons donc le lecteur.
Nous démontrerons seulement ici la parfaite identité, non seulement quant aux propriétés, mais en eux-mêmes, des logarithmes arithmétiques et des logarithmes algébriques. Les
ALGEBKE SUPÉRIEURE. 4 ' 1
mêmes Tables peuvent ainsi servir ^ quel que soit le point de vue adopté.
Identité des logarithmes arithmétiques et des logarithmes
algébriques.
498. I. Parlons d'abord du point de vue arithmétique cl considérons deux progressions, Tune par quotient, l'autre par différence, où se correspondent les termes i et o. Los nombres inscrits dans la progression par quotient ont alors pour logarithmes les termes correspondants de la progression par différence.
Ainsi, les deux progressions étant
: o . /* . 'î/' . 3/' mr. . . . ,
la défînition élémentaire {Alg. élém., 34.7) donne pour logarithme, au nombre <7'" de la progression par quotient, le terme correspondant mr de la progression par différence. Posons
Nous aurons, arithmétiquement parlant,
Mais, de (i), on déduit m — i-y et Ton a, par suite, • /
On voit par là que, y étant le logarithme arithmétique
de q"^, il faut, pour reproduire 7'", élever précisément le
nombre constant q'' à la puissance y.
Il y a par suite identité entre les logarithmes arithmétiques et les logarithmes algébriques (4-91).
La base du système se reconnaît, dans les deux cas (496 el Alg, élém., 356), à ce que son logarithme est égal à Tunilé.
Ici, ^'* est la base du système des logarithmes arithmétiques, comme elle est celle du système des logarithmes algébriques;
4l2 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
car, au point de vue arithmétique, le logarithme de q'' esl
W9. II. Parlons mainlenant du point de vue algébrique. On peut toujours considérer des nomhrcs en progression par quotient tels, que
s • • rtnflt
l-.a:aq:ag^:aq^:...: aq"" :
Les logarithmes algébriques de ces nombres forment évidemment (^93, ^1^95) une progression arithmétique correspondante
-: ioga.(logaH-log7).(loga h 2 log7).(loga -H 3 log^)
(loga -r mlogq)
Quand des nombres forment une progression par quotient, leurs logarithmes algébriques forment donc une progression par différence.
Si Ton suppose log^ — /• et a ~ i, c'est-à-dire loga — o, les deux progressions deviennent
•"i * m q » q * q • ••• «jf • •••«
; O . r . 2r.3/- nir
et Ton est ramené complètement à la déHnition des logarithmes arithmétiques (498).
Il y a par suite identité réciproque entre les logarithmes algébriques et les logarithmes arithmétiques.
Des différents systèmes de logarithmes.
500. Tméorèmb fondàmbntal. — Le rapport des logarithmes d'un même nombre reste constant, lorsqu'on passe, en faisant varier la base, d'un système de logarithmes à un autre.
Il résulte de cette remarquable propriété que, une Table de logarithmes étant construite dans un certain système, on obtiendra la Table répondant à tout autre système, en multipliant simplement les logarithmes insérés dans la première Table par un facteur constant.
Soient deux systèmes de logarithmes^ le premier rapporté à la base a, le second à la base A. Considérons un même nombre b, et désignons par x et par x' ses logarithmes dans les deux systèmes. Nous aurons, par définition (^91),
a'~6 et A-^ - ^, c'est-à-dire
Prenons les logarithmes des deux membres de cette égalité, d'abord dans le système dont la base est a, ensuite dans le système dont la base est A, en nous rappelant que, dans tout système, le logarithme de la base est i (tô6). Il viendra (i^95)
X loga a — J?' lOga A ou X ~- x' loga A,
-plOgAÛ^^ -P'IOgAA ou jrlOgAtt — -c'.
On
en
déduit
ou -T — *Oë^A^'
loga A ^•
Ainsi, le rapport des deux logarithmes x' et x demeure bien constant, quel que soit le nombre considéré b.
Ce rapport constant est appelé le module relatif du système kpar rapport au système a. C'est le nombre par lequel il faut multiplier tous les logarithmes du système a, regardé comme ancien système, pour avoir tous les logarithmes du système A, regardé comme nouveau système.
En résumé, le module relatif a pour expression l'inverse du logarithme de la nouvelle base pris dans l* ancien système ou le logarithme de l'ancienne base pris dans le nouveau système. L'expression pratique est, évidemment, la première.
On représente, en général, par M le module relatif. Nous aurons donc ici, pour les bases a et A,
M=: , 7- mlogAÛt.
loga A ^
On voit que, si l'on connaît A, on peut déduire immédiatement le système A du système a. La base d'un système suffit donc pour le définir.
4l4 ALGÈBRE SUFÉRIEURF.
501. Il est facile de vérifier, a posteriori, Hclentité qu'on vient d'obtenir, c'est-à-dire
lOgA^ ou lOgA^.IOgaA — I
Posons, en effet.
Il faut prouver qu'on a jx? = i.
La première égalilé signifie que, pour avoir a, il faut élever la base A du second système à la puissance y (4-91). On a donc
La seconde égalité revient de môme à
En élevant à la puissance y les deux membres de cette dernière relalion, on trouve
c'est-à-dire, nécessairement, j^ =^ i (W6).
502. Soient les deux nombres quelconques N et N'. D'après ce qu'on vient de démontrer (500), on a, en prenant leurs logarithmes dans les systèmes de base a et de base A,
log.N lOggN^
logAN""logAiY' relation qu'on peut écrire {Alg. éléni., 67)
logaN logAN log^N' logAN'"
Le rapport des logarithmes de deux nombres quelconques reste donc constant, quand on passe d'un système à un autre.
C'est une autre forme du théorème fondamental établi au n'' 600 {Alg, e7ew.,357).
Des logarithmes népériens ou hyperboliques.
503. Le premier système qui fut employé par Neper a reçu le nom de système naturel ou, mieux, de système népérien.
On lui donne encore le nom de système hyperbolique, l\ cause du rapport intime qui existe entre les logarithmes correspondanls et la mesure des aires hyperboliques (voir Géom. anal,, t. V).
Neper, en considérant les logarithmes arithmétiques, partait de ces deux progressions {Alg. élém., 3^*7 et suiv.) :
:: i:(n-a):(n-a)-:(n-a)*: ... :(n- ay": —
Pour introduire autant de nombres que possible dans la progression par quotient, il faisait tendre a vers zéro, et il en était alors de même de (3; car, si (n- a) a pour logarithme |3 dans un certain système de base plus grande que i et si I -h a diminue, il en est de même de (3 (481). Mais, quelque petits que soient les accroissements simultanés a et ^ des termes i et o à l'origine, on conçoit qu'on puisse néanmoins établir entre eux un certain rapport, d'ailleurs complètement arbitraire, et poser
fi sera le module du système de logarithmes constitué par les deux progressions considérées; et, en faisant varier fx, on fera varier ce système lui-même.
Neper choisit la relation la plus simple, en prenant (3 := a ou le module [x égal à i.
Son système de logarithmes se trouva ainsi représenté par les deux progressions
H I :(n-a):(n-a)':(n-a)»: ... :(i-ha)'": . ..,
;0. a . 2a . 3a m en
504. Cherchons, d'après cela, la base du système des logarithmes népériens.
Celte base est le nombre qui a pour logarithme l'unité.
4i6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Si Ton suppose que l'unité fasse partie de la progression par différence (503), la réponse est immédiate. Soit
ma = i, d'où m=:--
La base sera
(i4-a)'*, c'est-à-dire (îi-«)*.
Mais, d'après ce qui précède (503), a doit être regardé comme une quantité qui tend indéfiniment vers zéro. Par suite, ia base du système népérien tend autant qu'on veut
vers la limite de (i 4- a)" pour a ~ o, c'est-à-dire (4-16) vers le nombre e.
Si l'on suppose que l'unité ne fasse pas partie de la progression par différence (503), elle tombera du moins entre deux termes consécutifs de cette progression, et Ton aura, par
exemple,
ma < I < (m -h i)a.
En désignant par x la base du système des logarithmes népériens, on aura en même temps (tôt)
(i 4- a)'" < x < (i -h ay^K
Mais, d'après les premières inégalités, on a alors
c'est-à-dire a fortiori, en revenant aux secondes inégalités,
\ m-hij \ m)
Or, pour faire tendre a vers zéro, il faut évidemment faire tendre m vers TinOni; et, alors, comme on l'a vu précédemment (M3), les deux quantités qui comprennent x ont pour limite commune le nombre e.
On parvient donc au même résultat.
505. On indique, en général, les logarithmes népériens par la notation L ou /; et les logarithmes vulgaires, dont la base est 10 {Alg. élém.y 358), par la notation log.
506: On peut facilement passer des logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires, et réciproquement.
Le module relatif M, qui permet le premier passage, a pour valeur (500)
M = j = loge =r 0,43429 4481908251
Le module relatif ^^y qui permet au contraire de revenir des logarithmes vulgaires aux logarithmes népériens, a pour valeur
M|=: -. =:L.io=:= 2 , 3o258 50939 94o45 . . . .
Ainsi,
de /N = A", on déduit logN ■= k loge
et,
k de logNi= ^1 on déduit /Ni = *
loge Fonction logarithmique.
