Si Ton considère la fonction exponentielle

où a? et a sont des nombres positifs et oCi^ peut être positif ou négatif (488, 489), et si Ton prend les logarithmes des deux membres dans le système dont la base est a, en se souvenant que le logarithme de la base est toujours i (496), on a

7 = loga^.

y est idi fonction logarithmique, inverse de la fonction exponentielle X (441, 444).

508. Pour étudier les variations de la fonction logarithmique, on distinguera toujours les deux cas de a > i et de a<i.

!• Soit a>i.

y étant le logarithme du nombre a?, on sait que la fonclion / et la variable x croissent simultanément (491). En se reportant à l'étude des variations de la fonction exponentielle et en

Db C. ~ Cours, ni. Q-.

4l8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

faisant varier la variable ^ de o à + oo, on a (488, i89, 496)

Poura:=io, j=logo=:: — oo;

Pour^ = i, 7'=:logi =:o;

Pour J7z=oo, y^iL Iogooz=-Hoo.

a° Soit a •< I .

Dans cette hypothèse, la fonction / diminue quand la variable X augmente (491). On a

Pour a: — o, j 3z logo = -h oo; Pourorzri, y —.\o%\ =o; Pour j:* =: 00, V = logoo zi.- — x.

509. Cette discussion peut être résumée dans le Tableau suivant et représentée par un tracé graphique correspondant {,fig. 2).

(7=l0ga^.)

rt>I

croît

o croît

jr.

croît

décroît

Fig. a.

Une remarque est nécessaire. Les Tableaux des n"

ALGEBRE SUPÉRIEUEE. 4<9

et 509 devraient être identiques^ ainsi que lesfig. i et a qui les représentent graphiquement, puisque^ lorsqu'on considère deux fonctions inverses (kki, kkk), la relation entre les variables a: et y reste toujours la même. Mais Téquation exponentielle étudiée au n« 489 est j = «*, tandis que celle adoptée au n» 509 est x == o^.

On a ainsi» en réalité, permuté a: et 7, et les résultats indiqués au n*> 509 doivent présenter la même permutation relativement à ceux du n" W9. C'est ce qui a lieu, évidemment, pour les deux Tableaux et pour les deux figures.

Recherche de quelques limites.

510. Nous terminerons par la recherche de quelques limites, utiles à connaître, et qu'on peut trouver directement et simplement en s'appuyant sur les propriétés précédentes.

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