DIFFÉRENTS DB ZÉRO

518. Désignons par a Tinfiniment petil principal, et par p un infiniment petit du n^^*^* ordre. On aura à la fois, par définition,

lim a = o, lim p = o.

Représentons par k une quantité finie quelconque, différente de zéro, et par o) une quantité qui tend vers zéro en même temps que a. Nous aurons, par définition (516),

lim -^ = A: ou -2. = A: -h o),

c'est-à-dire

Telle est la forme générale de tout infiniment petit du n^*^ ordre.

Si /t = i, on a

p-=z a(Ar-h w).

p est alors du premier ordre ou du même ordre (517) qae rinfiniment petit principal.

519. On peut avoir à considérer des infiniment petits doot le rapport à une puissance fractionnaire de Tinfiniment principal a une limite finie. Leur ordre devient, dans ce cas, fractionnaire.

Si Ton a, par exemple,

p p = a7(A:-hw),

p est un infiniment petit de l'ordre -•

Comparaison des infiniment petits d'ordres différents.

520. Il est évident que, de deux infiniment petits d'ordres différents, celui de V ordre le plus élevé est infiniment petit par rapport à Vautre.

Soient les deux infiniment petits p et pi rapportés à Tinfiniinent petit principal a et, n^ étant plus grand que n, supposons qu'on ait (518)

p=:a'*(Ar-f-a)), pj=i a'*t(A:,-f- wi);

on en déduit

p^ «"»(A-|-f-(«)|) __ ^„ ^ ^i-f-o)» ^ p a'*(A:-+-w) Ar-hw

La limite de ce rapport est évidemment zéro, puisque k^ et k sont des quantités finies différentes de zéro, et que toute puissance positive de a, dont l'exposant est un nombre fini, tend vers zéro en même temps que a (347).

Il résulte de là que pi finit par devenir un infiniment petit relativement à p, de manière à pouvoir être négligé devant lui dans les cas appropriés.

Opérations sur les infiniment petits.

521. Soient des infiniment petits p, pi, pi, ... d'ordres croissants n, /ii, n,, . . ., rapportés à Tinfiniment petit principal a.

1® La somme de plusieurs infiniment petits est du mime ordre que celui dont l'ordre est le moins élevé.

On a» en effet,

p-i-p|-Hp,-h... A -I. £i ^ P« -u a" a* a* a"

Et le premier rapport du second membre tend vers une limite finie (516), tandis que tous les autres rapports tendent vers zéro (520); ce qui justifie l'énoncé.

On peut dire, de même, que la différence de deux infiniment petits est du même ordre que celui dont l'ordre est le moins élevé.

4^20 ALGÈBRE SUPÉRIEORR.

2" Quand on multiplie deux infiniment petits, V ordre du produit est la somme des ordres des /cLcteurs,

On a, en effet, Tégalilé

P Pi ?h

Chaque facteur du premier mennbre tendant vers une limite finie (516), il en est de môme du produit indiqué dans le second membre (343), et l'énoncé est justifié (516).

3° Quand on divise deux infiniment petits, l'ordre du quotient est la différence des ordres du dividende et du diviseur.

On a, en effet, l'égalité

Pi . P P .

Chaque rapport du premier membre tendant vers une limite finie, il en est de même du quotient indiqué dans le second membre (3W), et Ténoncé est justifié (516).

4* Quand on élève un infiniment petit à une puissance^ V ordre de cette puissance est le produit de V ordre de V infiniment petit par l'exposant de la puissance.

Soit rinfiniment petit p, qui est d'ordre n. Nous aurons, en désignant par p l'exposant de la puissance, l'égalité

comme le premier membre tend vers une limite finie, quel que soit /?, pourvu qu'il ne soit pas infini (347), il en est de même du second membre; ce qui vérifie l'énoncé (516).

522* Lorsqu'on remplace r infiniment principal d'abord choisi par un autre infiniment petit du même ordre^ tous Us autres infiniment petits engagés dans la question conservent leur ordre.

Soient p un certain infinimeni petit du n»*"« ordre, et (J Tin- Oniment petit du même ordre que a ou du premier ordre

(518), substitué à rinflniment petit principal a. On a, identiqueaient,

Chaque facteur du second membre tendant, évidemment, vers une limite finie (516, 517), il en est de même du premier membre (343), et p, comparé k a ou à (3, reste toujours de Tordre n.

523. Il n*est pas inutile de remarquer qu'un infmimeni petit peut être d*un ordre indéterminé. C'est ce qui arrivera lorsque, en comparant deux infîniment petits oc et ^, aucune puissance de Tun d'eux pris comme infiniment petit principal ne pourra être du même ordre que l'autre (516, M7). Le

rapport -^ ne peut, dans ce cas^ présenter une limite finie,

différente de zéro, puisque les deux infiniment petits seraient alors du même ordre (517); et tout ce qu'on peut dire, c'est que, si ce même rapport a une limite nulle ou infinie, l'ordre de a est supérieur ou inférieur à celui de ^ (520).

Exemples d'iiifliiimeBt petits d'ordres différents.

5Sii'. La Géométrie et la Trigonométrie fournissent de nombreux exemples d'infiniment petits d'ordres différents pouvant coexister dans une même question.

L'aire d'un rectangle, dont les côtés sont des infiniment petits du premier ordre, est un infiniment petit du deuxième ordre (521, 2®).

Si l'arc de cercle infiniment petit a: est choisi comme infiniment petit principal, s'mx et tangj? sont des infiniment petits du premier ordre (517), puisque l'on a alors {Tri-

gon., 104)

,. sin.r ,. Vàiisœ

La différence i — cosj? est, dans la même hypothèse, un infiniment petit du deuxième ordre (516); car on a, d'une manière générale {Trigon,, 66),

sm* — . ^ .r I — cos X 2