CHAPITRE IL

DÉFINITIONS DE LA DÉRIVÉE ET DE LA DIFFÉRENTIELLE D'UNE FONCTION D'UNE SEULE VARIABLE.

Définition de la dériyée.

532. Nous nous sommes occupé précédemment de l'expression de l'accroissement d'un polynôme entier en x et de degré m, suivant les puissances ascendantes de l'accroissement de la variable x. En représentant ce polynôme parF(;r) et en désignant l'accroissement de la variable par A, nous avons trouvé (32^) l'importante formule

+ F'(a:) -^ -H...-hF<«'(ar)

Nous avons donné alors au polynôme F'(^) le nom ^^ polynôme dérivé o\x de première dérivée de F (a?), et nous avons indiqué suivant quelle loi simple il se déduit de F(x). De même, F' (a?) est la dérivée de Y\x) ou la dérivée secondent F(j7); Y^(x) est la dérivée de F'(d?) ou la dérivée seconde de F'(^), ou la dérivée troisième de F(jr); et ainsi de suite.

533. Cela posé, on peut vouloir chercher le rapport de l'accroissement de la fonction considérée à l'accroissement de la variable. Il suffit, pour l'obtenir, de diviser par h les deux membres de la relation (i). Il vient

La fonction entière ¥{a;) étant continue (&62), si Ton fait tendre l'accroissement h de la variable vers zéro, en conservant à x une valeur fixe, il en sera de même (460) de Taccroissement de la fonction F(^ -h A) — F(j?). Mais le rapport des deux accroissements ne sera pas indéterminé {Alg. élém,, 116). En effet, la limite du premier membre de la relation (a) est égale à la limite du second membre (334). Dans ce second membre, tous les polynômes dérivés conservant des valeurs finies, tous les termes, à partir du deuxième, tendent vers zéro quand h tend vers zéro (340); et, comme ces termes sont en nombre fini, la limite de leur somme, égale à la somme de leurs limites (342), est zéro. On a donc, pour h infiniment petit,

(3) iim!>+^ZlZif)=F'(^).

Ce qui montre que la dérivée du polynôme entier ¥{x) est, pour une valeur quelconque de a?, la limite du rapport de l'€tccroissement de ce polynôme à V accroissement correspondant de la variable x, lorsque celui-ci tend indéfiniment vers zéro [ou, plus rapidement, puisque la fonction entière F(^) est continue, la limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants de la fonction et de la variable].

534. C'est la définition précédente qu'on adopte pour toutes les fonctions d'une seule variable, lors même qu'il serait impossible de les développer suivant les puissances ascendantes de l'accroissement de la variable, comme nous avons pu le faire pour les fonctions entières, telles que F(.r). Et Ton dit que :

La dérivée d'une fonction quelconque de x telle que y=:/{x) est, pour une valeur donnée de x, la limite du rap~ port de l'accroissement de la fonction à l'accroissement correspondant de la variable, lorsque celui-ci tend vers zéro.

On représente la dérivée par la notation

r(x) ou DJix) ou Dy.

Quand il y a plus de deux variables, il peut être utile d'indiquer que la dérivée de la fonction y est prise spécialement

par rapport à la variable x^ par exemple, et Ton emploie alors la notation

La dérivée première de la fonction ^ = /(a?) peut admettre, à son tour, une dérivée (532) qui est la dérivée seconde de la fonction. La dérivée seconde peut admettre elle-même une dérivée, qui est la dérivée seconde de la dérivée première ou la troisième dérivée de la fonction; et ainsi de suite. Ces dérivées successives de la fonction, à partir de la deuxième dérivée, seront représentées par les notations

f {X) ou D'/{x) ou D--^, f (X) ou D^fix) ou D»/,

/««^(x) ou D^yXo?) ou Dy.

535. 11 faut nousarrétersur la définition que nous venons de donner de la dérivée d'une fonction d'une seule variable (534). Elle suppose implicitement que la limite du rapport des deuik accroissements considérés est, en général, une quantité finie et déterminée; sans quoi, il n'y aurait pas lieu de s'occuper de cette limite.

Nous remarquerons qu'on a été conduit à la découverte du Calcul différentiel, qui n'est autre chose que la théorie des dérivées et des différentielles considérées dans leurs principes et leurs applications, en cherchant une méthode générale pour mener les tangentes aux courbes planes susceptibles d'une expression algébrique.

Supposons la fonction y =/(j?) et construisons la courbe AMB {/ig, 5) qui la représente graphiquement, d'après le procédé indiqué en Algèbre élémentaire {Alg. élém., 312 ei suîv.), et en choisissant des axes rectangulaires Oo? et 0/.

Les coordonnées x et j des points de cette courbe représentent les valeurs simultanées de la variable x et de la fonction y, et nous admettons que la courbe AMB est réelle et continue dans un certain intervalle, comme la fonction ellemême. Proposons-nous, dans cette hypothèse, de mener la tangente à la courbe au point M, dont les coordonnées sont a?=:0Pet7 = MP.

Les modernes, depuis Descàrtes, définissent la tangente en un point d'une courbe, comme étant la limite des positions

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 439

d'une sécante variable passant par le point donné et par un second point d'intersection avec la courbe, qui se rapproche indéfiniment du premier {Géom., 96).

Prenons donc, sur la courbe AMB, un second point M' voisin du point M, dont les coordonnées soient a7'=rOP', >''= M'P', et menons par le point M, jusqu'à la rencontre de M'P', la parallèle MN à l'axe 0^.

Fig. 5.

Si nous désignons par h et par k les accroissements correspondants de la variable x et de la fonction y y quand on passe du point M au point M' de la courbe AMB, les coordonnées dû point M' deviendront

OP' =OP-hPP' :^OP-i-MN —x^h, WV^— NP' -h M'N rzz MP 4- MN ^y-^k,

et nous aurons

/i==MN, A-^M'N.

Cela posé, le triangle rectangle MNM' donne ( Trigon., 14.2)

tangM'MN-^^ = ^.

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, h diminue et tend indéfiniment vers zéro. £n même temps, la sécante M'MS tend indéfiniment vers la tangente IMT au point M, et l'angle M'MN vers l'angle IMN, qui représente celui que fait celte tangente avec l'axe Ox, Les limites de deux quantités toujours égales étant égales (dd^^), on a donc

tangIMN = lim tangM'MN = lim r*

44o ALGEBRE SUPÉRIETTHE.

Ainsi, la limite de r ouf*{x) (53i) se trouve représentée par

la tangente trigonomélrique de V angle que fait la tangente à la courbe AMB, au point M dont l'abscisse est Xy avec Vaxe Oxy tangente trigonométrique, en général, parfaitement déterminée.

Si l'on peut calculer la limite de t à l'aide de l'équation de

la courbe, la tangente trigonométrique de l'angle IMN sera connue, et la construction de la tangente au point M s'en déduira immédiatement.

Réciproquement, si, la courbe AMB étant construite, on peut lui mener une tangente au point M, la tangente trigonométrique de l'angle IMN fera connaître la valeur de la dérivée de la fonction correspondante y =z/(x), pour x = OP.

Il y a donc identité entre la recherche des dérivées des fonctions d'une seule variable et celle des tangentes aux courbes planes qui les représentent, et les dérivées existent comme les tangentes elles-mêmes.

Ajoutons que la limite du rapport t ne dépend nullement

de hy mais seulement de la valeur attribuée à x. La dérivée de f(x) sera donc, en général, une nouvelle fonction de x (534).