Soit un triangle rectangle ABC (fig» 3), dans lequel
l'hypoténuse BC et l'angle aigu C sont des infiniment petits
de même ordre,
Fig. 3.
Désignons par a Thypoténuse, par (3 et y les deux cAtés de l'angle droit, et prenons a pour infiniment petit principal. Cherchons Tordre des autres côtés du triangle, nécessairement infiniment petits.
On 2i {Trigon., 141)
(3= acosC,
- =:COSC,
lim
Le côté |3 est donc un infiniment petit du premier ordre (517).
On a, d'autre part,
y = asinC.
L'angle C étant du premier ordre, il en est de même de son sinus (52^). Par suite, y, étant le produit de deux inflniment petits du premier ordre, est un infiniment petit du deuxième ordre (521, a<»).
Réciproquement, la relation
sinC = ^
prouve que si, dans un triangle rectangle infiniment petit, un côté y est du deuxième ordre tandis que l'hypoténuse a est du premier, l'angle C opposé au côté y est du premier ordre (521, S*).
Si l'on abaisse la perpendiculaire AD sur Thypoténuse, on a
BD = y cosB = y sinC, CD = (3 cosC, AD = (3 sinC.
Par suite, BD est un infiniment petit du troisième ordre; CD est du premier ordre et AD, du deuxième ordre.
Supposons, maintenant, que C restant infiniment petit du premier ordre, l'hypoténuse a ait une longueur finie quelconque. La relation
P=zacosC
montre que p, projection de a sur j3, est alors une quantité finie ; mais la différence
(] a — j3 = a ( I — cos C ) -= a a sin« - ( 524 )
est un infiniment petit du deuxième ordre, puisque sin - est
du premier ordre.
11 en résulte que, lorsqu'on projette une droite finie sur une autre droite qui fait avec elle un angle infiniment petit, la différence entre la droite projetée et sa projection est un infiniment petit du deuxième ordre, relativement à V angle considéré comme infiniment petit principal.
Ce résultat est souvent invoqué en Mécanique.
Le triangle rectangle infiniment petit considéré plus haut conduit encore à une conséquence qu^il importe de signaler.
Sur une courbe AB {fig. 4)> prenons deux points infiniment voisins M et M', et menons la tangente MT au point M. Si Ton
43o ALGÈBB.E SUPÉRIEURE.
abaisse la perpendiculaire MT sur MT, on a
M'P = MM'sinM'MT.
Or, d'après la définition de la tangente {Géom., 96), Tangle M'MT est un infiniment petit, et il en résulte que la distance M'P est à son tour un infiniment petit d'ordre supérieur.
Ainsi, la distance de Vune des extrémités d*un arc infiniment petit à la tangente menée par Vautre extrémité est un infiniment petit d'ordre supérieur^ quand on prend la dislance des deux extrémités pour infiniment petit principal.
Condition de substitution des infiniment petits dans des limites
de rapports on de sommes.
526. Premier principe. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites reste la même, quand on leur substitue d'autres quantités dont les rapports avec les premières ont respectivement V unité pour limite.
D'après l'énoncé même, les infiniment petits ainsi considérés sont deux à deux du même ordre (517).
Soient les deux couples d'infiniment petits a et a^, ^ et^i, tels qu'on ait
Mm^zzzi, limgi = i; il faut prouver qu'on a, nécessairement,
lim— = lim;^- «1 Pi
C'est ce qui est, pour ainsi dire, évident; car (SU) la relation
ALGBBEE SUPÉRIEURE. 4^1.
lim jâ =1 revient (3W) à
- — =1 ou à lim a = lim p.
De même, la relation lim ^ = i revient à
Pi
y; — « =' ou à limai — limp,.
On a donc, en divisant membre à membre,
lima lim3 .. ,. « •• P
r: = t: — jJt OU bien lim— =llm;3-• llmal limj3i ai |3i
Appliquons ce premier principe à un exemple : x étant un arc infiniment petit et a et 6 étant des constantes, supposons qu'on ait à considérer les infiniment petits sina:r et sin^o?. Comme le rapport du sinus à Tare a pour limite Tunité quand l'arc est infiniment petit, on aura le droit de substituer au
rapport . . le rapport t-—, et il viendra immédiatement sin o oc o %3c
,. sinaor ,. aœ a lim -; — r— — lim -j— =1 r •
527. On peut donner une autre forme, souvent plus commode, à ce premier principe.
En effet, lorsque la limite du rapport de deux infiniment petits est égale à l* unité, la différence de ces infiniment petits est infiniment petite relativement à chacun d'eux; et, récipro* quementf si la différence de deux infiniment petits est infini" ment petite relativement à chacun d*eux, la limite de leur rapport est égale à l'unité.
Soient a et (3 les deux infiniment petits, et d leur différence.
Si Ton a
lim  = ï et a — ô =: 5,
on déduit évidemment de la dernière égalité (341, Sk^)
Bm5=:H-lim3 et lim- = i — lim-p p oc a
Ces deux relations justifient la proposition énoncée; car, si
Ton a lim s =1, ce qui entraîne lim - = i, on a, à la fois
lim-=o et lim 3=0; a p
et si Ton a, par exemple, - =1 o, il en résulte
hm - =1, lim s =1 a p
et, par conséquent, lim g = o«
On peut donc énoncer comme il suit le prbhibr puhcipb:
La limite du rapport de deux infiniment petits n'est pas modifiée, lorsqu'on leur substitue d'autres quantités qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes,
528. Lb.V31e. — Si la somme de quantités infiniment petites, dont le nombre croit indéfiniment^ a une valeur déterminée S OM tend vers une limite finie S, et qu'on les multiplie respectivement par d'' autres quantités infiniment petites, la somme des produits obtenus a pour limite zéro ou est infiniment petite.
Soient
^i9 otj, «3, . . ., a„,
les infiniment petits proposés dont la somme est S ou a pour limite S, quand n croît indéfiniment; soient
G)|< ût)), CO)) • • • » C*)
ff>
d*autres infiniment petits.
Formons la somme
«1 w, H- a, Wt -+- a, 0)» 4- . . . -h 3t„ w«.
Désignons par (ùt la valeur absolue de celui des infiniment petits de la seconde suite qui a la plus grande valeur absolue. Il est évident que la somme que nous venons d'indiquer sera
ALGÈBRE SUPÉEIBUEE. 433
moindre» en valeur absolue, que le produit
(a, -4- «i-f- «»-+-. . .+ art)W|.
Or la limite de ce produit est égale (3U), 343) à
S lim &)/, c'est-à-dire à zéro. Le lemme est donc démontré.
529. DBOxifcMB PRINCIPE. — La limite de la somme de quantités infiniment petites, dont le nombre augmente indéfiniment, reste la m^me quand on leur substitue d'autres quantités dont les rapports avec les premières ont respectivement l'unité pour limite.
Soient
les inOniment petits considérés, et
Pl> Pl> ?9f •••> P»>
les infiniment petits dont les rapports aux précédents ont respectivement Tunité pour limite.
Le théorème est évident quand n est fini, puisque la limite d'une somme de quantités en nombro fini est égale à la somme des limites de ces quantités (342) et que» si l'on a
on a aussi
limai = lim|3].
Mais il ne Test plus quand n est infini. Il faut alors une démonstration spéciale, qui nécessite le lemme que nous venons d'établir (528).
Si l'on a
lini?î=i, limfî = i, lim 2^=1, ..., lim^K=i,
Hl Pi P» Pn
les rapports inverses ont aussi l'unité pour limite» et l'on peut poser
3i St 3i 3ii
«1 a, aj a^
Db a — Comrs. III. . sS
en désignant par &>!, (ù^, &)s, . . ., gi>„, d'autres infiniment petits tendant vers zéro en même temps que les précédents. On déduit évidemment de ces égalités
lim((3,4-p, + (3,4-...-h(3,) = lim(ai-h a,-4- «j-h. . .-h a„)
Mais, en supposant que les conditions du lemme (528) soient remplies, la limite de la dernière somme du second membre de Tégalité résultante est zéro, et Ton a simplement
lim (Pi -+- (3, + p. H- . . . 4- P«) = lim (a, 4- a, -4- a, -»- . . . -h a„).
530. On peut appliquer à renoncé du deuxième principe la même modiflcation (527) qu'à Ténoncé du premier principe.
On peut donc théoriquement les réunir, et leur ensemble constitue le principe fondamental suivant :
Principe fondamental. — Les limites de rapports ou de sommes d* infiniment petits, dont le nombre augmente indéfiniment, ne sont pas modifiées^ lorsqu^on leur substitue d'autres quantités qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites relativement à eux-mêmes.
Cet énoncé général permet de supprimer respectivement, dans les quantités infiniment petites qu'on peut avoir à considérer, toutes les parties infmiment petites relativement à ces quantités elles-mêmes. Ainsi, un infiniment petit d'ordre supérieur est, en vertu de ce principe, négligeable devant tout infiniment petit d'ordre moindre (520). Les calculs peuvent être par là grandement simplifiés; et il n'en résulte aucune erreur dans la recherche des limites de rapports ou de sommes de ces quantités infiniment petites.
Nous en avons rencontré de nombreux exemples en Géométrie (t. II).
531. Les principes que nous venons de démontrer (526, 529, 530) ne sont autre chose, en réalité, que la Métbodb lv FiNiTÉsiMALB clle-mêmc, et celle-ci, comme on le voit, n'est qu'une des formes de la Méthode des limites (3&8).
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^^
Les quantités infiniment petites s'introduisent en effet, précisément, dans le calcul des grandeurs déterminées, soit en regardant une pareille grandeur comme la limite du rapport de deux infiniment petits, soit en la concevant comme décomposée en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites. Le premier point de vue appartient aux modernes; le second point de vue a été celui des anciens et, notamment, d'ARCHiMÈDB.
Le Calcul dijfférentiel découle du premier principe (526), tandis que le deuxième principe (529) se rapporte spécialement au Calcul intégral.
