TABLEAU DES DIX FONCTIONS SIMPLES

Fondions algébriques,

( Somme >- - a -4- .r

i^-gronpe. ..,„, ° ( Différence yz=La — x

/ Produit V — ^.r

•?: groupe. , ^v ,. . a

I Quotient r ==^ —

! Puissance r — •'''" Racine ) ~ V^ (m, nombre entier et positif.)

Fonctions transcendantes,

l Fonction exponentielle y^na^, y ~e^

1* groupe. J Fonction logarithmique. . . . r = loga'^.. r — '^ '* { {a, nombre positif.)

l Fonction circulaire directe. r==sin.r

.)•■ groupe. 1:, .. .... ' . /r/, . ,r ,

■^ ( Fonction circulaire inverse, y -:= arc sm,v {rrigon,,ïï.)

558. Pour les fonctions trigonométriques, directes ou inverses, nous n'avons indiqué qu'un seul type; et il est clair qu'on pourrait regarder aussi, comme fonctions simples de cette espèce,

)• — coso?, r = aixcos,r, 1' — tang.r, r^arctanga:, —

Mais, en considérant le cercle de rayon i et en supposant

! Tare moindre que -> la connai:*sance d'un seul rapport trigo-

, nométrique de cet arc entraîne celle de tous les autres {'Irigon.y 9). On peut, par suite, en parlant du sinus, par exemple, ne voir dans les autres rapports que des fonctions dépendantes. Ainsi, l'on a

COSJ™ ^n: Sin I JlM/^y/l — siu^jc,

sin^

\! \ — sin- j:

559. Dans chaque fonction simple, sauf dans les deux premières, on peut remplacer la seule lettre x par une fonction simple. On obtient ainsi ce qu'on appelle une fonction de fonction. La môme transformation peut être répétée plusieurs fois, de manière à conduire à à^% fonctions de fonctions. On superpose ainsi évidemment les opérations qui correspondent aux fonctions simples.

Prenons la fonction produit j=:aj7 et remplaçons x par Lj?, nous aurons la fonction de fonction y=:aLx. Remplaçons de nouveau x par sïnxy nous aurons \di fonction de fonctions y =: ah sïnx. Dans le premier exemple, deux opérations se trouvent superposées; il y en a trois dans le deuxiènne exemple.

560. D'une manière générale, toute fonction qui dépend de plusieurs fonctions de x est une fonction composée.

C'est le cas ordinaire des fonctions explicites (449), où les opérations à effectuer sur la variable pour calculer la fonction sont directement indiquées.

561. On peut trouver facilement, bien qu'un peu longuement, les dérivées des dix fonctions simples et, par suite, leurs différentielles, en suivant une marche parfaitement unifonne, que nous indiquerons ici immédiatement.

Soit la fonction

11 suffit de donner à x un certain accroissement Ix, Il en résulte pour j un accroissement Aj, et l'équation (i) devient

(a) y -h lyz=zf{x -h A.r),

On a alors, en retranchant (i) de (a),

et, en divisant par Ix,

Ar àx

Si l'on fait tendre maintenant àx indéfiniment vers zéro

dans le second membre de la relation (3), ce second membre

Av tend lui-môme indéfiniment vers la limite de ~- pour Ao? in-

ALGÈBRE SUPÉRIEUHE. 4^3

Hniment petit, c'est-à-dire vers la dérivée /'(^) Que Ton cherche.

Une fois qu'on connaît l'expression de la dérivée /'(a?), on a la différentielle dy par la relation fondamentale (5^9)

dy :=. f\x^dx.

562. Dès que l'on connaît les dérivées et les différentielles des dix fonctions simples, on peut passer à celles des fonctions de fonctions et des fonctions composées qui en dépendent nécessairement^ en établissant certains théorèmes généraux.

Mais il est plus simple et beaucoup plus rapide de suivre la marche inverse.

Nous commencerons donc par démontrer les principes à l'aide desquels on peut ramener la détermination des dérivées et des différentielles de toutes les fonctions à celle des dérivées et des différentielles des dix fonctions simples; et nous nous occuperons ensuite des fonctions simples elles-mêmes. La question se trouvera d'ailleurs résolue pour quelques-unes d'entre elles, par suite de nos premières recherches.

/l56 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.