Soit la fonction

Admettons qu'en la résolvant par rapport à .r, on en déduise

(a) ^zncpCj).

Les fonctions indiquées par les signes / et 9 sont, comme nous Tavons déjà dit (4H), des fonctions inverses l'une de rautre.

Comme les équations (j) et (2) sont la même équation sous deux formes différentes, elles donneront toutes deux les mômes accroissements correspondants pour les variables x ot/. En d'autres termes, si Taccroissement A.r conduit dans la première équation àTaccroissement Aj, Taccroissement A^' conduira nécessairement dans la seconde équation à raccroissement Ax.

Cela posé, on aura (534)

A.r Ax .. Ajt

On arrive donc à cette proposition importante (551), connue sous le nom de théorème des fonctions inverses.

/VLGÈBnE SUPÉniEURE. 4 3 7

Quand deux fonctions sont inverses au point de vue algébrique, leurs dérivées sont inverses au point de vue arithmétique.

Supposons qu'on sache trouver la dérivée de la fonction 9{y) ®l qu'on ne connaisse pas encore la dérivée de la fonction f{jc). Il suffira, pour obtenir /'(x), de prendre Tinversé ■ de ç'Cj) et d'y remplacer/ par/(^).

Différentiation des fonctions de fonctions.

564.. Considérons une fonction de fonctions de x (559) définie par les équations

On voit que y dépend de w, qui dépend de Vy qui dépend de cT. Finalement, y dépend donc de x et est une fonction de fonctions de ûc. En éliminant v et u, on pourrait obtenir cette fonction sous la forme

j = FÎ/[9(^)]î;

mais il est facile d'éviter cette substitution.

Supposons, en efTel, qu'on donne à a? un accroissement àa\ 11 en résultera pour v, u et j^, les accroissements correspondants Ar, lu et Aj. On aura alors, identiquement,

A>' Av au Ar

A.r Aa Ac Ajt

Si l'on fait tendre maintenant Ax indéfiniment vers zéro et si le nombre des fonctions superposées dans l'expression de y est fini, la limite du premier membre de l'identité (i) sera égale au produit des limites des facteurs du second membre (3i2), et il viendra, par définition (534),

On peut donc énoncer cette règle fondamentale :

La dérivée d'une fonction de fonctions est égale au produit des dérivées des fonctions successives , chacune de ces dérivées étant prise par rapport à la xynriable dont la fonction considérée dépend immédiatement.

458 iLLGÈBRE SUPÉRIEURE.