i" Dlffcrentier la fonction
y = ar^' Posons — J7 = z/, d'où du = — dr. Il viendra (?i87)
c'est-ii-dirc
dv df = a*'ladur=^a-'lad.c et -^- = — ar^la.
4gO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Si l'on a a = e ou si la fonction est
on trouve donc
» , /Ir
dr = — e~'ax et -— = — e-'. ^ dx
La fonction e-^ et sa dérivée sont donc égales et de signes contraires. 2** Différentier la fonction
En posant mx — u^ d'où du = mdx^ on a
dr dy = a'^ladu = nia"*^ladx et y- = ma"*' la
Cl «4'
Si la fonction donnée était
Y = a-'"', on aurait de même
dr dr= — ma-'^'ladx et -i- ^ — ma-'f^'la. •^ dx
3* Différentier la fonction
D'après ce qui précède, on a immédiatement
dy = mKC^'dx — mBe-"*'dx = m{Xe"*'— Be~"»')rfx
ot
dr
4* Différentier la fonction
Nous appliquerons ici le théorème des fonctions de fonctions^ en posant
u = «*«* et p = ^.
Nous aurons alors
j = ^«, 21 = tf**, i' = e^.
Il en résulte (565)
dy = e'*e*'e^dx =: f*""^ e^'c^dx
dv 5° Différentier la fonction
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 49 I
Nous aurons, en posant x -f- \Jx^ — i = «,
dy ^ — ot du — \\-\ ' ■ ) (jjn^
c'ost-à-dire
dy
et
6" Différentier la fonction
, a-hù.r
jr = log y- .
Dans cel exemple, la fonction logarithmique est superposée à la fonction quotient. Nous aurons donc immédiatement, d'après le théorème des fonctions de fonctions et sans passer par aucune variable intermédiaire, ce qui est inutile dès qu'on a pris un peu d'habitude et qu'on s'est exercé à séparer mentalement les fonctions,
, logg i)(a — h.r)-h bia-^-bx) ^
a — ùjc € est-à-dire, en simpliûant,
, ^ablose , , dr ^oblosc
dr = -r — 7T— ; dx et -7- = -r — j^- •
7* Différentier la fonction
Dans cet exemple, la fonction logarithmique est superposée à la fonction racine. Nous aurons donc encore immédiatement (577)
dx = — 7 ^^ — ; — dx,
./iZl:f ai/i— f
c'est-à-dire, en simplifiant.
, —loge loge ,
dr — —^ dx — —-^ — dx
dr loee
(ix X^ — I
49^ ALG£BBE SUPÉRIEURR.
On peut opérer autrement, en mettant j- sous la forme
•^"" i^^^TT^ ^ jlogO- j:)— ilog(n-.r).
On a alors
, 1 loe^ ,, .1 loge ,
2 1 — X ^ -2 1 -H .r = loge ( i ) iLc^
2 ° \ I — JC J -r- .r/
c'est-à-dire, comme précédemment,
8* Soit à differentler la fonction
7 = loglogx=logîJ".
Nous aurons toujours, d'après le môme principe (365),
•^ log.r X xlogx
et
f(r __ (logg)V d,x: xlogx
Si Ton donnait à difTérentier la fonction
j = logloglogx = log3.r, on aurait de môme
dr = '°?î d^fl' dx = ^'°"^^' dx
loglogx xiogx xlogxlogjx
et
dy (loge)'
iLt: xlogxiogsX La loi est évidente. Si la fonction donnée est
jr = log log log. . .logx = log„x,
on peut écrire immédiatement
, (lo£re)« ,
rf/= —. i — i-p-^^ i dx.
X log X logî X luga X. . . logrt- 1 X
()" Soit à différentier la fonction
y = /[(x — rt)'«(x — ^)'»(x — c)/». . .].
On a évidemment (493, -495)
j — ml(x — a)-h nl{x — h)-\- pl^x— c)->-
ALGÈBRE SUrÉRlEUllE. 4[).^
Par suite,
dr = m -^ h n — ■ -. h p
jc — a X — ù X — c
dx L.r — a X — U X — c j
dr m n
dx X — a X — ù X — c Si Ton pose
on a (573)
-i-/i(x — ^)«-» (jT— a)'«(x— c)P.,.
Il en résulte
f{x) X — Il X — b X — €
c'est-à-dire, d'après le résultat précédent,
dr ^ dlf(x) ^ f(x) ilx dx f {x)
