Soit la fonction

yT=: sinj:.

Si Ton donne à cr un accroissement Ax, y prendra Taccroissement A/, et Ton aura

j -h Aj =1 sin(a? -+- àx)y

d'où, par soustraction,

A/ — sin (a? 4- Aj?) — sino:

ety en divisant par Aj:,

Ak sin(j?H-Aj?) — sin^r

^'' ti- â:^

Lorsque Aj; tend vers zéro, il en est de môme du numérateur

du second membre de Tégalilé précédente, La limite de ~

se présente donc sous la forme -•

Pour lever cette indétermination apparente, remarquons que, d'une manière générale {Trigon,, 81), on a

sm/? — sm^ = a cos sin •

En posant

/? = j? -4- tiJCy <7 = ^,

on a ici

p -\- a A r p — a Ao? £1 l=:a:H , ^ '- ^

On peut donc remplacer, dans Tégalité (i).

sin(x 4- Aa?) — sino: par 2C0s(a:H j

ùkX\ . \x

sm —

il en résulte, en divisant par 2 les deux termes de la fraction du second membre et en séparant les facteurs,

. Ar

A / 4 \ sin —

Ay / Aj:'\ 2 -, - = cos j: H — T

ÙkX \ 2 / AJ7

En passant à la limite et en se rappelant que la limite du rapport du sinus à l'arc quand Tare tend vers zéro est Tunité (TVi^o/i., 104.), on trouve

-^ = cos a?, dy 1= co%xdx.

Ainsi, la dérivée du sinus d'un arc est égale au cosinus du même arc.

On voit par là que le sinus augmente quand Tare croît de o

à -> qu'il diminue quand Tare croît de - à tt, etc. {Trigon,, 2 2

599. Nous indiquerons encore le procédé suivant pour trouver la dérivée de einx.

Soient A l'origine des arcs dans le cercle trigonométrique OA et A3t l'arc x {fig. 7). Donnons à cet arc raccroissement MM'= Ax.

En menant par le point M la parallèle MN à OÂ, l'accroissemeat correspondant A/ de la fonction

y =^ sinx = MP sera évidemment représenté par M'N.

Les deux triangles rectangles OPM, MNM', étant semblables, on a