Soil la fonction

yzn: arcsin^.

11 en résuif e

.T =: sinj'.

Par suite (598),

{fa- z=r cos )' dy et dy z=z — '■ — , • • *^ cos/

c'est-à-dire {Trigon., 34)

dx dx dv

dy

ifcy/i — sin*>' ±L\Ji — x^ ^^ \J\ — x^

Pour justifier le double signe, il faul remarquer que, si Ton désigne par jo l'un des arcs qui ont x:=. MP pour sinus (fig. 9), tous les autres sont compris dans les formules {Trigon,, M)

aÂ'7r-i-7o et (3ArH-i)7r— Vo,

ces arcs se divisant en deux séries, les uns terminés en M, les autres terminés en Mi.

Suivant que Tare j, considéré spécialement, appartiendra à la première ou à la seconde série, sa différentielle, égale à dyo ou à — dy^ puisque les constantes disparaissent dans la différentiation, sera donc positive ou négative. Le double signe répond ainsi à la généralité de la question.

Mais, dans la pratique, si l'arc y est désigné d'avance, il n'y a plus d'ambiguïté; car le radical v^i — x^ ou y/i — sin*r, remplaçant cosj, doit recevoir le signe de ce cosinus qui est positif pour les arcs terminés en M et négatif pour les arcs terminés en M^

610. On peut trouver la dérivée de arc sin par des considérations géométriques.

Soient (Jîg, 9) MP = jc et arcAM =/,

Si Ton donne à y Taccroissement MM'= Aj, il en résultera pourr Taccroissement M'N = Aj:; et si Aj tond vers zéro, Tare MM' tendra de plus en plus vers sa corde MM'.

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

On a d'ailleurs, d'après les triangles semblables MNM', OPM,