On voit qu'on peut mettre la relation (2) sous la forme
A»/ = ^ A;r« -h 3„.i Ao?".
D'ailleurs, on peut faire tendre ùkx vers zéro en prenant lixz=dx (5W). Il vient, dans cette hypothèse,
d'où
dx*^
d^ V Si la /i**"® dérivée -7^ reste finie, on a alors
dx*^
c'est-à-dire (530) que la différentielle d'ordre n d'une fonction de X peut remplacer la différence de même ordre de
54o àlgêbue supérieure.
cette fonction, dans la recherche des limites de sommes ou de rapports, en négligeant une quantité infinîment petite reiâtivetnent à cette différence. C'est la généralisation de ce que nous avons dit au n* 547.
Des différentielles des divers ordres des fonctions implicites.
6W. Soit une fonclion r de la variable .r définie par l'équation
En égalant à zéro la dérivée du premier membre de cette équation, nous avons trouvé (623)
dx ci Y dx
Cette équation (2) donne -— en fonction de x et de r, ou
en fonction de x seulement si Ton peut éliminer j entre les équations (i) et (2), et Ton en déduit ensuite dy.
En combinant convenablement les équations (i) et (2) ou en conservant cette dernière telle qu'elle est, on a une équation de la forme
Son premier membre étant constamment nul, la différentielle de ce premier membre est constamment nulle (549), et Ton a
d -fdx
c'est-à-dire, en divisant par dx^
(3) ^^^AÛL^ J?^ ^y =, o,
^ ' dx dy dx 'dy dx^
dx
d}y Cette équation (3) fait connaître ^, en fonction de x, de/
ALGEBRR SUPÉaiBORK. 54 ■
et de ^> ou en fonclion de x seulement si l'on peut éliminer/et^ entre leséqualions (2), (2 his) et (3); et Ton en déduit ensuite d^y.
On pourra trouver de même -.— y ^~, — Mais nous n'insisterons pas davantage sur cette méthode, parce que nous en indiquerons plus loin une autre plus rapide, qui s'appliquera également au cas où Ton a à considérer plusieurs fonctions implicites. Un exemple, cependant, ne sera pas inutile pour bien éclaircir ce qui précède.
649. On demande de trouver la deuxième différentielle de la fonction implicite €Ù(finiepar l'équation
L'équation (a) du n** 648 est alors, en divisant ses deux membres par 3,
(2) ^*-j-T-Cr*— ^)^, =0,
et Ton en déduit
dr Y — x^
dx ~" /' — X Uéquation (2) est de la forme
L'équation (3) du n"" 648 est donc ici
ou
dr /drY . . .d*r
(3) ,.^,^,^(^^j ^er.,)=o,
et elle va nous permettre de déterminer -—• En remplaçant -^ par sa valeur, en effectuant les calculs et en simplifiant, elle devient
Mais l'équation (i) exigeant que le trinôme^— 3xj-i- or* soit conslamment nul, l'équation (3 bis) se réduit à
et l'on en tire
