La formule remarquable ainsi vérifiée peut s'écrire

sym bo liq uemen t

d'^i^uv) = (du-\- dv)'^y

à la seule condition d'ajouter en facteur, dans le premier terme du développement de (du-^-dç)'", (dç)^ et, dans le dernier terme de ce développement, (du)^; puis, de remplacer respectivement les puissances

{du)'' et {dç)''

par les différentielles

d^u et d"v

et, dans les termes extrêmes, {dvy et {duy par t' et u.

644. On peul aussi représenter symboliquement la différentielle d'ordre m d'un produit de p facteurs m, r, fv, . . ., par la formule

d"^{uvw. . ,) = {du -hdv -h div -h. . .)"S

à la condition d'ajouter en facteurs, dans les termes du développement du second membre» la puissance zéro des différentielles du, dv, dw, ...» qui ny entrent pas; puis de remplacer ensuite respectivement les puissances

{du)'', (tfr)», {d^v)'*y ...

par les différentielles correspondantes

celles-ci devant être remplacées à leur tour par «, r, w, . . ., dans le cas de n=io.

Il suffit, pour comprendre cette extension, de se reporter au développement de la puissance /n**"»« d'un polynôme (303, 305).

Des différences des divers ordres.

6W. Il est très utile de rapprocher les différentielles et les différences successives (545) d'une même fonction.

La différence ày de la fonction 7 =:/(^) étant elle-même une fonction de ^ a aussi une différence AA/ qui en admet une AAAr à son tour; et ainsi de suite indéfiniment.

En supposant qu'on donne toujours à a? le même accroissement ou l'accroissement constant àx, les différences des divers ordres seront désignées par les notations

Aj, A»/, A»7, ..., A»/, ....

(Les puissances de A/ seront représentées par A/, Aj%

ày, ..., A/", — )

646. Il s'agit de démontrer que la dérivée d'ordre n de la fonction y=:/(x) est la limite du rapport de à"^y à A^'*, c'est-à-dire de la différence n"'^« de cette fonction à la puissance /i'^'-»* de la différence ou de l'accroissement de la variable.

Il est entendu que la fonction donnée et les dérivées successives qu*on en doit prendre restent continues dans Tintervalle qu'on a à considérer.

Cela posé, on a (5^5)

œ = (p(ary Ao?) étant une fonction de x et de Ao: qui s'annule pour A.r =: o, quelle que soit la valeur de x choisie dans rintervalie proposé.

Si Ton prend les accroissements ou les différences des deux membres de la relation (i) pour un nouvel accroissement A^ donné à x^ et si on les divise ensuite par Ax, il est clair que le premier membre deviendra

Ao?** Le premier terme du second membre deviendra

(3 étant encore une quantité qui tend vers zéro et s'annule avec Aj?.

Quant au second terme a du second membre, il deviendra

— = ^'i^x,Ûix)-\-y,

en désignant par y une troisième quantité qui s'annule avec Aor, quelle que soit la valeur donnée à x dans Tintervalle. On a, par suite,

Mais la fonction 9(0?, Aj?) s'annule pour Aa;=:o quelle que soit 07 ; il en est donc de même de sa dérivée ç' i^x^Hx) [637], et Ton peut écrire

di étant une quantité qui s'annule avec A^.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 53g

En prenant les accroissements ou ies différences des deux membres de cette nouvelle égalité pour un nouvel accroissement Lx donné à cr et en les divisant ensuite par A;r, le même raisonnement conduit à

d, étant une quantité qui s*évanouit avec ùkx.

La loi est évidente, et Ton peut poser d'une manière générale

cette dernière quantité s*évanouissant avec A^r. En passant aux limites, on a

ce qu'on voulait démontrer.