Soit

la fonction des deux variables indépendantes x et /. Nous désignerons, d'une manière générale, par

STy^^-u OU par iSTyl!"^'^

le résultat de /w-h/i-hp h-, . ., dérivations partielles effectuées sur la fonction £/, les m premières se rapportant à x^ les n suivantes se rapportant à y, les/? suivantes ayant lieu de nouveau relativement à ^, ....

' La différentielle et la différence partielles de même ordre

seront représentées par les notations

d';\^tP^''u et A;'^,'*y^-M.

Pour simplifier, on prend les accroissements Ao?, A/, dx^ dy constants ou respectivement indépendants des variables x et/.

Cela posé, nous aurons d'abord (639), puisqu'il ne s'agit que de la variable j?,

De môme, en regardant/ comme seule variable et en prenant la différentielle d'ordre n des deux membres, il viendra

t/^'^y* u " /î',7* u dx"" dy*" — D2y u dx'" dy'* .

Enfin, si Ton regarde de nouveau x comme seule variable et si l'on prend la diiTérentielle d'ordre p des deux membres de la relation précédente, on trouvera

^Ty"y " —/x\yiy " dx"' dy dxP z^ D"^^^yu dx^ dy^ dxP;

et ainsi de suite.

On déduit de là, d'une manière générale,

^j-.^". x. ... ** fm'i-n-*-p+... .« T|m+in-/»+.. -,

dx'"dy''dxi'~~'^ '^^'''- " — ^'»r-*> • "'

Les dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables s'expriment donc, au moyen des différentielles partielles correspondantes, d'une manière analogue à celle adoptée pour les fonctions d'une seule variable.

Enfin, d'après ce qui précède, on a, en regardant x comme seule variable (6V6),

0)1 s'annulant avec Ix.

Si l'on prend maintenant la différence /»»*"• des deux membres de cette égalité par rapport à /, le premier membre deviendra évidemment

Quant au second membre, il deviendra la n^^ dérivée

▲LGJsQRE supÉaiEuaB. 54s

partielle du second iQembre précédent par rapport à 7, augmentée d'une quantité &>s s'annulant avec â^. D'ailleurs., puisque Wi s'annule avec Aa?, sa /i^*™* dérivée par rapport à y s'annule aussi en même temps que ^x (637). On a donc, en désignant la somme de cette dérivée et de (Ut par C,

£ étant une quantité qui s'annula quand A^r et A/ s'évanoui^^^ni ensemble.

Sn preoanjt la différence d'ordre p des deuj(. membres de la dernière égalité par rapport à ;r et en continuant le même raisonnement» on obtient, d'une manière géoénale, couun^ pour les fonctions d'une seule variable,

Aa?"' A/» Ax^ ... ^•' *'r» ». ■■. **^'^»-

% devenant nul quand Aa> et A7 »* évanouissent enseoible.

En passant aux limites, on en conclut, comme pour las fonctions d'une seule variable,

Am-hn+p-*-... .. ^m+n+p-^... ..

Il m **a;.y,jr,... " fm+n+p-t-.,. /^ *^a?.r. w,... *^

Ax'« A/'* Aor''. . . "-^ '.r.a?..- «* — ^j.m dyn ^^p^ , »

652. Théorèvb FOin>AMBNTAL. — L'ordre dans lequel on effectue les différentielles partielles successives, pourvu que le nombre de celles qui sont relatives à une mêtne variable ne change pas, est indifférent.

Soit toujours la fonction

u—f{af,y).

Faisons d'abord varier a^ seulement en le remplaçant par J7 -4t^ A<37* La fonction u deviendra

U -\- ÙLxU,

Daxks ce résultat, faisons maintenant varier y seulement ea U remplaçant pai: y -h- A/, Nous auronS} comme nouveau résultat,

a -4- A«, </ H- A^w + Ay A»«/^

c'est-à-dire

W-f-Aa:M -i-AjW-hAi.j.tt.

Db C. — Cours, \\\. 35

Effectuons les opérations en ordre inverse. En faisant varier/ seulement, nous aurons

puis, en faisant varier a- seulement dans ce résultat,

c'est-à-dire

w -h Ay tt -h Ajc a -+- A*;jp u.

Les deux résultats définitifs doivent être identiques, puisque tous deux représentent ce que devient la fonction u lorsqn'on y change à la fois j? et j en ;r -h Aj? et / -+- Aj. Il en résulte, identiquement,

(0 Ai,ya=A*,^a.

Si l'on divise les deux membres de l'identité (i) par le produit Ao? A/ ou A/Aj7, |et si Ton passe aux limites en faisant tendre Ix et A/ vers zéro, on a évidemment, d'après ce qui précède (651),

et, par conséquent, on a aussi

dxdy dydx **^ ^'^

Nous n'avons considéré que deux variables et deux opéralions; mais le théorème est complètement général; car, de ce qu'on vient d'établir, il résulte qu'on peut toujours, sans ricii changer au résultat final, intervertir V ordre de deux différentiations successives. Par conséquent, si l'on a un nombre quelconque de variables et d'opérations, il sera toujours possible, en agissant de proche en proche, d'amener telle différentiation qu'on voudra à tel rang désigné, c'est-à-dire d'intervertir à volonté l'ordre des différentiations successives.

653. Ce théorème fondamental permet de simplifier les notations indiquées précédemment, en n'ayant (\}ïune seule in-dication pour chaque variable.

Supposons, par exemple, qu'on ait dérivé successivement la fonction

de manière à obtenir une dérivée partielle du cinquième ordre, telle que

jc» z% y\ jc fZ

dx dz dy d.r dz

Nous supposerons que Ton ait effectué successivement toutes les opérations qui se rapportent à la même variable, ce qui ne modifie pas le résultat, et nous écrirons

il est clair que l'expression de cette dérivée partielle peut être encore simpliQée et mise sous la forme

dœ* dy dz^

parce que les exposants de dx^ de dy et de dz au dénominateur suffisent pour indiquer le nombre des dérivations relatives à chaque variable.

Mais si, pour avoir la différentielle partielle correspondante, on multipliait la dérivée précédente par dx^dydz^ en supprimant le dénominateur, il resterait d^u^ expression qui ne renfermerait plus aucune trace des différentiations effectuées successivement. Il faut donc, dans ce cas, conserver le dénominateur et représenter cette différentielle partielle par l'expression

La notation (651) est aioi's beaucoup plus simple.

EXEMPLES