I .r "~ a:tang.r
et la fonction, mise sous cette forme, devient - pour x = o.
Parsuit«(711)
,. ,. X — tanfir.r ,. cos*.r
lim j = lim — ï^— = lim
X tang.r . .r
^ tangjr-'
COS'o:
,. cos'.r — I r 1 o
= lim-: [pour a: = ol= -•
sm jr cosa: -f- j: •• "" o
Gomme la limite de j^ se présente encore sous la forme -> il faut passer
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 6a I
aux dérivées du deuxième ordre, et Ton a
,. ,. C08*x — I ,. — asinorcosx ,
limr = lim —. = lim — i-z [pour x = ol = o.
3* Soit l'expression
On demande ta véritable valeur de la fonction pour x = oo. On a alors
et Ton peut écrire
Pour X = 00, la fraction — se présente sous la forme — > et Ton a (711)
e* Qo
lim ^ = lim ~ ( pour x = »] = o.
lien résulte (3id)
lim j = lim^lim i -\ [pour x = »] = \\me^. = «.
4^* Soit l'expression (I) r = '^.
On denuuide la véritable valeur de la fonction pour x = o.
On a alors
Nous prendrons donc (71G) les logarithmes népériens dos deux membres de Tégalité (i), et il viendra
ly -=. X Ix,
Mais, pour x = o, on a, d'après le premier exemple traité (i^),
lim.r/x = o.
On a donc aussi
cest-à-dire, pour x = o, comme au n** 513.
lim Ijr = 0, lim j = I ,
5** Soit l'expression
On demande Ut véritable v€deur de la fonction pour x = oo.
On a alors
022 ALGÈBRE SUPÉEIEORE.
Nous prendrons donc (716) les logarithmes des deux membres de Tégalilé (i), et il viendra
Pour a: = oc, logj se présente sous la forme — • On peut donc poser (711, 588)
lim logj^ = lim — ^ =lim — ^ [pour j? = «] = o.
On a, par conséquent, pour -c = »,
lim7 = i,
comme au n"* 512.
\osjc On voit, en môme temps, que la vraie valeur de la fonction —^^ pour
x = ao, est égale à zéro, comme on l'a déjà trouvé au n"" 511.
6* Soit l'expression
jr = /cosx.
On demande la véritable valeur de la fonction pour j: = o. Pour X = o, la fonction devient
mais on peut récrire
(i) j = cos^".r,
et, pour X =s 0, la fonction se présente alors sous la forme
En prenant les logarithmes népériens des deux membres do l'égalité (i) (716), on a
//= — /cosj-,
et la question est ramenée à trouver la limite de ly pour x = o. Comme on trouve, pour cette valeur de x,
/cosx
on a (711)
— sinx
,. /cosx ,. cosx r .
lim — f- =lim [pourx = o]
X* âX
= lim '■ [pour x = o] =
[ X acosxj ^^ ^ a
Si la limite de ly^ pour x = o, est ? on a
limj = e *= -r=«
Cas particuliers.
718. 11 peut arriver que le rapport des dérivées se présente toujours sous forme indéterminée, à quelque ordre de dérivation qu'on parvienne, et que la règle ordinaire (711) demeure, par conséquent, impuissante. C'est ce qui aura lieu, notamment, lorsqu'il s'agira d'un rapport de radicaux.
Soit, par exemple, la Tonctiôn
yx — a
dont on veut trouver la véritable valeur pour x-=.a. La fonction se présente alors sous la forme -• On a donc (711)
et, en continuant d'appliquer la règle habituelle (711), il est évident qu'on trouvera toujours le même symbole d'indétermination, puisque les radicaux ne disparaîtront pas.
Mais, si l'on cherche d'abord à simplifier l'expression de la fonction en la mettant sous la forme
(o? — ay (a? 4- ay (o: 4- aY
on voit immédiatement que la limite de y est zéro ou l'infini, suivant que p est plus grand ou plus petit que /n.
6^4 ALGEBRE SUPÉaiEURE.
719. Certaines fonctions deviennent indéterminées d'une manière complète, pour des valeurs spéciales de la variable, de sorte que la règle de THospital (711) est encore en défaut si Ton parvient, en l'appliquant successivement, à une fonction de cette nature.
Il faut alors avoir recours aux artifices que peut suggérer rtiabitude du calcul.
Soit, par exemple, la fonction
j? -h coso:
Pour a? = oo, elle se présente sous la forme ~> bien qu'on
ne puisse assigner alors aucune valeur à cosj? et à sin j?, qui demeurent, évidemment, complètement indéterminés. Tout ce que l'on sait, c'est que, pour a: = oo, coso? et sinj? restent toujours compris entre — i et -f- 1.
Si Ton applique la règle (711) à l'égalité (i), il vient
,. ,. ;r-|-cosa: ,. i — %\nx
hm y =: lim ; — = lim ipour x = oo ],
•^ X — sino? I — cos\r ^^ ■*
et, d'après ce que l'on vient de dire, on se trouve en face d'un rapport absolument indéterminé, sans que ce rapport se
présente sous la forme - ou - •
Il faut, dans ce cas, reprendre directement l'expression (i) et la traiter par le procédé élémentaire, en divisant son numérateur et son dénominateur par x^ avant de faire x=iao {Alg. élém.^ 119). On a ainsi
C0SJ7
sinj?'
et, comme sinj? et coso? ne peuvent pas surpasser i en valeur absolue, on trouve immédiatement, en faisant x = oo,
lim7(;c=«, =1.
Fonctions implicites.
