Soit encore

La différentielle de arcsin^r est précisément (609) celle qui est placée sous le signe / . On a donc

dx

=:arcsinj7 h-C.

Mais il se présente ici, pour le passage à l'intégrale définie, une difficulté dont il faut être averti.

Supposons que les limites données soient ^=—i etx = i. Nous aurons

' dx — .. . =:arcsin i — arcsin(— i).

Or, à un même sinusx, correspondent une infinité d'arcs compris dans les formules {Trigon., 12)

ikiz-^x et (aAr-h i)7r — J7,

k étant un entier quelconque. La fonction arcsino? n'est donc

pas complètement déterminée, et il en est de même des deux termes arcsini et arcsin — i, lorsqu'on les considère séparément; mais leur diflférence n'est pas indéterminée. C'est ce que nous allons montrer.

Les deux arcs (arc sin i et arc sin — i) peuvent faire partie, soit de la première formule générale que nous venons de rappeler, soit de la deuxième, soit, respectivement, de l'une et de l'autre. Le résultat demeurant identique, comme il est facile de le vérifler, nous admettrons que les deux arcs appartiennent à la première formule

Nous pourrons alors écrire

arc sin 1=: 2k'K -h -y arc sin — 1 = 2^:7: >

k conservant, bien entendu, la même valeur dans les deux égalités, puisqu'il s'agit d'un arc variant d'une manière continue depuis la valeur pour laquelle son sinus est — i jusqu'à celle pour laquelle son sinus est i.

Il en résultera finalement

r^ dx / , 7r\ / , 7r\

I — = (2A:iTH — — 2A:7r =7:.

J^^sJi — x'' \ 2; V 2/