THÉORÈMES BB TRANSFORMATION ET DE DÉGOUPOSITION

770. L On peut, à volonté, faire sortir un facteur constant du signe 1 ou le faire entrer sous ce signe.

On a, évidemment,

(i) I af{x)dx=za 1 f{x)dj:,

a étant un facteur constant.

£n effet, tout facteur constant persiste dans la différentiation (573), et deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent différer que par une constante arbitraire additionnelle (760).

On peut dire encore qu'il revient au même de multiplier par un facteur constant chaque élément d'une somme ou la somme tout entière.

Ainsi, l'expression a 1 /{x)dx a pour différenliclle a/{x)dx

el, comme elle renferme implicitement une constante arbitraire, elle représente bien Tinlégrale indéfinie de a/(x)dx. On aura donc, entre les mêmes limites Xq et x^,

ra/(x)dx=:a j /{x)dx.

771. II. L'intégrale d'une somme algébrique de différent tielles est égale à la somme algébrique des intégrales de ces différentielles.

En effety Uy v et t, élant des fonctions de x, on a (568)

d{u-h V — t) = du-^ dv — dt.

On a donc aussi

(a) rd{U'i-V'-'t)= ( du-^ jdv— j dt;

car les deux membres de cette égalité ont môme difrérentielle, et chaque intégrale indéfinie entraine avec elle une constante arbitraire additionnelle.

On aura, par suite, entre les mêmes limites xq et x^,

d{u -\- {f — t) =: l du-\- l dv -- j dt.

772. Le plus ordinairement, Texpression qui est sous le signe

/ n'est pas une différentielle connue ; mais il suffit souvent

d'une simple multiplication par un facteur constant convenablement choisi pour faire apparaître cette différentielle, et Ton peut alors regarder encore l'intégration comme immédiate. Le théorème I (770) a donc des applications très nombreuses, puisque l'on n'aura qu'à diviser ensuite le résultat obtenu par le facteur auxiliaire employé.