I» Soit, par exemple
/ x"^ dx.
La quantité x^dx n'est pas une différentielle connue;
68a ALGEBRE SUPÉEIEURE.
mais, en multipliant sous le signe par /n-M, on voit que
{m -hi)œ"*dx
est précisément la différentielle de ;r"*-^* (576). Il en résulte qu'en multipliant sous le signe par m + i et,
en dehors du signe, par > les deux opérations se détruiront (770), en donnant
Il est utile d'énoncer ce résultat sous forme de règle; car il n'en est pas de plus usuel.
Lorsque la fonction dérivée placée sous le signe I est une
puissance, on obtient immédiatement l'intégrale, sauf la con^ stante, en augmentant d'une unité l'exposant de la puissance et en divisant le résultat par V exposant ainsi modifié.
En appliquant cette règle et le théorème II (771), on peut écrire immédiatement l'intégrale qui correspond à une fonction dérivée exprimée par un polynôme rationnel en x.
On a ainsi
/ (5^*4-20?' — 7J?*-f-5j7 — ?i)dx
= I 5x''dx-h I 2x^dx — j '^x^ dx -h j Sxdx — / idx
- x^ nx^ 5x* ^ ^
Les lecteurs feront bien, dans les commencements, de véri- Qer toujours le résultat de l'intégration effectuée, en prenant les différentielles des deux membres.
Nous ne devons pas terminer ce paragraphe, sans faire remarquer le cas d'exception qui se présente, lorsqu'on suppose dans la formule générale (3), /n = — i. On trouve alors
au lieu de Ix-^C que l'on devrait obtenir (766, i^). Il ne faut pas d'ailleurs s'étonner que la formule générale devienne illusoire dans cette hypothèse, puisque l'intégrale Ix -h C, ces-
ALGÈBRE ST7PÉRIEURB. 683
sant d'être algébrique, ne peutplus être représentée par l'expression
Un artifice de calcul peut conduire au résultat exact. C étant une constante arbitraire, on peut, sans rien modifier,
retrancher dans le second membre la fraction > et écrire
x"* dx = h C.
Pour m = — I , la fraction du second membre prend la forme -• Mais, si Ton applique la règle de L'Hospital (711), en prenant le rapport des dérivées des deux termes relativement à
m, on trouve d'abord
j?'»+i Ix
et, ensuite, pour /n:=— i, Ix. On retombe bien ainsi sur la formule connue
T74. 2'» Soit encore
I a^dx.
La quantité placée sous le signe n'est pas une différentielle connue; mais elle deviendrait celle de a^ [589], si on la multipliait par p^ • C'est ce que l'on a le droit de faire, à la con-
ditîon de multiplier hors du signe par le facteur inverse s •
Il vient ainsi
/^ j ^oge riosa ^ , log^ ^ ^ a^dx^r-^- I r-^- a^ dx = r-^— a^ -h C. \ogaJ loge loga
775. Le théorème relatif à la diiférentiation des fonctions de fonctions (565) peut être souvent invoqué, soit seul, soit combiné avec le théorème I (770).
3^ Ainsi, la différentielle d'un logarithme conservant la fonction intacte au dénominateur (587) et la dérivée de la
variable indépendante étant l'unité, on a, évidemment,
On a, de même
j xlx On a aussi (773)
^ — = I ( j: 4- a)-^*dx
En multipliant et en divisant par 2 (770), il vient également (565, 587)
De même
fi^dx=ifi^dx={{ixr+c.
Enfin (563, 613)
/> dx /* dx
=:iarctang(j)-hC.
776. En décomposant la différentielle placée sous le signe en une somme de plusieurs autres et en appliquant le théorème II [771], on parvient fréquemment à tourner la difûculté et à effectuer Tintégralion. Le théorème II joue donc, lui aussi, un rôle important, bien qu'il faille quelquefois une habileté toute particulière pour le mettre en œuvre.
