Quelques exemples éclairciront ce qui précède

i<» Soit d'abord

dx

SJcû- — x'^

La quantité placée sous le signe / n'étant pas une différentielle connue, nous poserons, en désignant par t une nouvelle variable indépendante,

X = at^ d'où dx = adt.

Il viendra, en substituant

/dx r adt r dt ' . n

-, = / -, = / , = arc sint 4- C,

ALGÈBRE ST7PÉRIEURE. 68?

c'est-à-dire, en revenant à x,

,^===- = arc sin — h C.

II est clair, d'ailleurs, qu'on aurait pu éviter l'emploi du procédé par substitution, en s'appuyant sur le théorème relatif à la dififérentiation des fonctions de fonctions (775), et en m posant directement

dx

/dx i a , fx\

. = I — , — arc sm -

II en sera souvent ainsi dans les exemples simples, où le procédé dont il s'agit aura surtout pour objet de soulager l'attention.

2° Soit encore

i {ax-\-bY^dx.

Posons

ax-'r b t.

Il en résultera

X — et dx —

dt

En substituant, on aura donc

i{ax'^b)"'dx = ^ jt"'dù= -

OU, en revenant à x,

Puisque la différentielle de a^ + b est adx^ on aurait pu aussi, dans cet exemple, éviter toute substitution et écrire immédiatement

Ç{ax^b)^dx=^ f(ax-hby^adx=^ (fl^ -h ^)^-^* ^^^ 3° Considérons, en dernier lieu, l'intégi'ale fréquemment

688 ALCkBEE SUPÉRIEURE.

rencontrée

/dx j:*-h bx

dx

en supposant que les racines de l'équation x^-^bx-\-c = o sont imaginaires, auquel cas on a {Alg. élém., 237)