Développer en fraction continue la série

(On appliquera la formule du n* 43i).

156. Supposons qu'on ait à considérer un produit composé d'un nombre illimité ou infini de facteurs, variables avec leur rang n suivant une loi donnée.

Le terme général de rang «, exprimé par une fonction do ii, pourra avoir une limite supérieure, inférieure ou égale à runilé, lorsqu'on fera croître n indéfiniment.

Dans le premier cas, les facteurs du produit finissent par être toujours supérieurs à un nombre fixe plus grand que i, et le produit correspondant croît indéfiniment et a l'infini pour limite.

Dans le deuxième cas, les facteurs du produit finissent par être toujours inférieurs à un nombre fixe plus petit que i, et le produit correspondant diminue indéfiniment et a zéro pour limite.

Dans le troisième cas, c'est-à-dire quand le terme général de rang // a pour limite l'unité, on dit que le produit proposé est convergent, lorsque le produit de ses n premiers facteurs tend vers une limite déterminée différente de zéro, lorsque n croit indéfiniment.

D'après ce qui précède, il n'y a lieu d'étudier que les produits composés d'un nombre infini de facteurs, qui sont de la forme

( I) P = (l — «i )(i - - 'Xt){i- - ag). . .( I -f- i„)

et dans lesquels a,» tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini.

Cela posé, les quantités 21, «2. aj, ..., a,,, ..., étant supposées toutes de même signe, c'est-à-dire les facteurs du produit (i) étant tous plus grands ou plus petits que l'unité, on demande de démontrer qu(' le produit P est convergent ou divergent en même temps que la série

Otl H- 3tj -i- 0t3 -i- . . . -^ Ot.11 -i- ....

157. Démontrer, plus généralement, que les quantités ai, as, a». .... tn étant des quantités réelles quelconques, le produit

P = (ï :-ai)(i-}-a,)(i i-a3)...(i-ha„)...

est convergent, lorsque les deux séries

aj -f- aj -T- aj -{- . . . -h a,| - .... a} H a| -f- a| 4- . . . -1- aj --

sont convergentes Tune et l'autre.

r^'A QUESTIONS* PBOPOSÉES

Le produit P n'est pas convergent et tend vers zéro, lorsque, la première série étant convergente, la seconde est divergente.

(Il faut remarquer d'ailleurs que, lorsque les quantités «i, si, 23

oinj "', sont de même signe, la convergence de la première série eivtraine nécessairement celle de la seconde. )