Trouver la limite de la série

«l-f- tt|-f- Mj-H. ..-f- «,|-H. . .,

dont le terme général a pour expression

146. A, b, 8, étant des quantités positives quelconques, satisfaisant

à la relation

la limite de la série

€t /i(a-h8) rt(rt -h 8)(/i-4- 2$)

b /;(^-f-8) ^(^-f-o)(6-+-2o) a{a -h S)(rt -^ 28). . ,(a -1- «8)

/;(^-Ho){/->-f-28)...(^-h//8)

est égale ù a.

(M. Catalan, Mélanges mathématiques,)

147. Si Ton groupe d'une manière quelconque, mais sans changer leur ordre, les termes consécutifs d'une série convergente, la nouvelle série obtenue est convergente, et présente la même limite que la première.

7^0 . QUEStrO]MS PROPOSÉES

(La réciproque do ce théorème n'est pas exacte, c'est-à-dire que la nouvelle série peut étro convergente, sans que la première le soit; , mais, si la seconde série est divergente, la première Test nécessairement.)

1 i8. Démontrer que le nombre e ne peut ôlrc racine d'une équation (lu second degré à coefficients entiers.

i 19. Soient les deux séries convergentes

//O -I- «1 -- «» -•-... -i- «/j-i H- Un -t- "rt-»-l -t- . . . ,

<|ui ont S cl S' pour limites respectives.

Si ces séries ont tous leurs termes positifs, ou si elles demeurent (convergentes lorsqu'on remplace les termes négatifs par leurs valeurs absolues, la série

(»'0-- «'i-f- «»'i-r-. . .-•- rt'rt i-4- (*'/»-h ll'rt-i-i-l-

dont le terme général a pour expression

o.-t convergente, et elle a pour limite le produit SS' des limites des sériels proposées.

150. Développer on série ordonnée suivant les puissances croissanles (le ./-, k l'aide do la méthode des coefficients indéterminés, le produit

iiKlcfini

(Se reporter au n" 423.)

151. Obtenir le produit jTCOt-c en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x^ à l'aide de la même méthode, et en se servant des développements de sinx et de cosa: indiqués au n° 397, 3', et démontrés plus loin (702).

(On posera d'abord .rcot.r = Aq-h Ai.r*-f- Aix*-4- A3.r«-+- »

1,52. Obtenir, en série ordonnée suivant les puissances croissanles <lo 3, le produit indéfini

( I :- xz){\ -h x^z){v -f- x^z){i -t-.r^5). . .(i -j-.r«3 )

(Se reporter au n° 423.)