Intégrer Texpression

dx

x^-h bx -+-C

orsque les racines de l'équation x«-+-6x-i-c = o sont réelles (780, 3'). 330. Calculer l'intégrale indéfinie

dx

^àzx^-h bx-{-c

NOTE

THÉORÈxME DE DUHAMEL SUR LES SÉRIES A TERMES POSITIFS.

Nous avons vu (371 à 375) que le théorème usuel sur la convergence des séries à termes positifs, fondé sur Texamen du rapport d'un terme au précédent, est en défaut lorsque ce rapport, tout en ayant pour limite l'unité, finit par rester constamment inférieur à sa limite.

Le théorème de Duhamel permet, en général, de résoudre cette difficulté, et devient ainsi le complément nécessaire du premier théorème, bien qu'il présente, lui aussi, un cas douteux.

Soit la série (U) à termes positifs

Admettons qu'on ait

lim'i^=i,

et que le rapport -^^ demeure constamment inférieur à l'unité, à partir d'un certain rang. On peut alors mettre ce rapport sous la forme

Un, I -t- a '

a étant un infiniment petit positif (336;.

Cela posé, la série (U) est converf^ente ou divergente, selon que la limite du produit «a est supérieure ou inférieure à l'unité. Si la limite du produit noL est égale à V unité et si ce produit, à partir d'un cer~ tain rang, reste inférieur à sa limite, la série est divergente,

i^ Supposons d'abord

limna = k et A:>i.

Si m est une quantité quelconque, mais déterminée, comprise entre i

^Go NOTE.

et k et, par suite, plus grande que i, on a évidemment (691)

(iX*» m I mim — i) i m(m — \){m — 2) i I-+- - ) =n 1 î^ -- H î^ '-^ — n] in 1.2 «* 1.2.3 il*

en désignant par S une quantité qui tend vers zéro, à mesure que n augmente.

Pour qu'on ait, à partir d'une certaine valeur de «,

(i) n-a>(i-hij

il suffit donc qu'on ait

iH- a> iH (i-h 8),

c'est-à-dire

(2) a>— (n-8) ou /ia>/w(i-H8).

Or, à mesure que n augmente, le premier membre de la dernière inégalité tend, par hypothèse, vers k qui est plus grand que m, tandis que le second membre tend vers m, puisque 8 tend vers zéro. Par conséquent, à partir d'une valeur déterminée de n, l'inégalité (i) sera satisfaite. D'ailleurs, cette inégalité revient à

ou a

Un

Si l'on considère alors la série (V) .... III I I

qui est convergente (311, 3*), puisque m est plus grand que i, on voit

que, dans cette série, le rapport -^^ d'un terme au précédent a pour expression générale

«'» \ nj

NOTE. 761

n est donc plus grand que le rapport analogue -^^ dans la série (U)

qui est, a fortiori, convergente (385).

2*" Supposons maintenant

lim«a = /: et A:<i.

Si m est une quantité quelconque, mais déterminée, comprise entre k et I et, par suite, plus petite que i, on a, comme précédemment (i**),

Pour qu'on ait, à partir d'une certaine valeur de />,

(i bis) i-t-a<(n--j

il suffit qu'on ait

{^bis) a<— (iH-o) ou /za < m(i -f- 8).

Or, à mesure que n augmente, le premier membre de la dernière inégalité tend, par hypothèse, vers k qui est plus petit que m, tandis que le second membre tend vers m, puisque S tend vers zéro. Par conséquent, à partir d'une valeur déterminée de/z, l'inégalité (1 bis) sera satisfaite. D'ailleurs, cette inégalité revient à

ou à

Si Ton considère alors la série (V) [i**], qui est ici divergente {211 y 3"), puisque m e^i plus petit que i, on voit que, dans cette série, le

rapport — - d'un terme au précédent est moindre que le rapport ana-

Un

y* Lorsqu'on a

logue -^^ dans la série (U), qui est, a fortiori, divergente (385).

lim/ta = I,

on reste dans le doute. Néanmoins, si l'on a constamment, à partir d'un certain rang, n% inférieur à l'unité ou et < -, la série (U) est diver-

762 irOTE.

gente. On a, en effet, dans cette hypothèse,

Le rapport -^^ est donc, à partir d'un certain rang, constamment

supérieur à

1 , n ou a >

rapport qui répond précisément (363) à la série harmonique