On peut souvent prévoir l'impossibilité d'une division

au point de vue auquel nous nous plaçons d'un quotient

entier par rapport à la lettre ordonnatrice. Nous ne nous y

arrêterons pas, et nous renverrons sur ce point à l'Algèbre

élémentaire {Alg, élém., W).

Nous observerons seulement que, le dividende et le diviseur étant supposés ordonnés suivant les puissances décroissantes de Xy les degrés des restes successifs par rapport à x vont constamment en diminuant.

Lorsque la division est impossible, il arrive donc un moment où le reste obtenu est, à la fois, différent de zéro et de degré inférieur au diviseur par rapport à la lettre ordonnatrice. Si le quotient doit rester entier en x, l'opération se trouve alors interrompue et son impossibilité démontrée.

On est, dans ce cas, conduit à généraliser comme il suit la déGnition de la division, en se reportant au n° ^ :

6. Étant donnés deux polynômes A e/ B entiers et ordonnés par rapport à Xy de degrés m et n{jn> n) en x, diviser ces deux polynômes l'un par l'autre, c'est trouver un polynôme Q

entier par rapport à x et un polynôme R entier par rapport à X et de degré inférieur à n, tels qu'on ait V égalité

A := BQ 4- R.

A est le dividende, B le diviseur, Q le quotient et R le

reste de la division effectuée. Cette égalité se met souvent

sous la forme

7. Il est facile de voir, en supposant que le problème posé ait une solution» qu'il ne peut en avoir qu'une seule.

Admettons, en effet, pour un instant, l'existence de deux solutions distinctes représentées, d'une part, par les valeurs Q et R et, d'autre part, par les valeurs Q' et R'. Nous aurions alors les deux égalités

A=BQ-i-R, A3i::BQ'-i-R';

d'où l'on déduirait

BQ -+- R z= BQ M- R'

ou

Le premier membre de cette relation est au moins de degré n en x comme le diviseur B, puisque les quotients Q et Q' sont entiers par rapport à x. Or, par hypothèse, les restes R et R' sont des polynômes de degré inférieur à n. Leur différence remplit donc la même condition, et l'égalité précédente est impossible, à moins que l'on ne suppose Q = Q'; mais, alors, on a aussi R = R'.

8. Quant à la recherche des polynômes Q et R, elle résulte immédiatement des règles données pour les divisions exactes (3). On commencera et Ton poursuivra la division de A par B jusqu'à ce qu'on parvienne, non pas à un reste nul, mais à un reste de degré inférieur en ^ à celui du diviseur B.

DiTinon des polynômes ordonnés soivant les puissances croissantes de la lettre ordonnatrice.

9. Nous avons supposé jusqu'ici les polynômes A et B ordonnés suivant les puissances décroissantes de la lettre ordonnatrice X.

Si on les ordonnait, au contraire, suivant les puissances croissantes de cette lettre, rien ne serait réellement changé à ce qui précède, dans le cas d'une division exacte, et Ton trouverait simplement le môme quotient renversé.

Mais, dans le cas des divisions impossibles à effectuer exactement, il y a lieu de présenter quelques remarques.

10. On voit d'abord que le problème de la division de A par B est alors indéterminé, en ce sens que Tidentité

A=r:BQ-f-R ou 5=Q-^B

est susceptible d'une infînité de formes différentes.

En effet, le premier terme du diviseur étant indépendant de œ ou constant, ce premier terme divisera toujours (algébriquement parlant) le premier terme d'un reste quelconque, et, par suite, l'opération pourra s'arrêter où l'on voudra ou se continuer indéfiniment, puisque, par hypothèse, on ne peut trouver un reste nul.

Ensuite, le degré du quotient par rapport à ^ va toujours en croissant à mesure qu'on poursuit l'opération, et il en est de même, par conséquent, de celui du reste

R=:A-BQ.

Le premier terme du quotient étant une constante, puisque les premiers termes du dividende et du diviseur sont indépendants de ^, le reste R ne contient jamais de terme constant, et l'on peut toujours y mettre en facteur commun la puissance de a? qui affecte son premier terme. Ce reste est donc

de la forme

^'^■-^^Ri,

en désignant par Rj un autre polynôme entier par rapport à a-.

Cette forme suppose qu'on a effectué fc -h i divisions partielles, c'est-à-dire que le quotient Q est du degré k par rapport à a:.

11. Divisons, par exemple, i par i — j.\ On a évidemment, comme résultat de l'opération, l'identité

n-Hl

Le quotient étant du degré «, le reste est du degré « -+- i et Ri est ici égal à i .

On déduit de cette égalité

Si Ton divisait i par i 4- ^, on trouverait

Ces formules peuvent être utiles.

Divisibilité*.

là. En Arithmétique, la théorie de la divisibilité consiste à reconnaître, à Taide de certains caractères particuliers^ si un nombre est diviseur exact d*un autre nombre. En Algèbre, la question se pose de la même manière, en remplaçant les nombres par des expressions algébriques. Nous allons rappeler quelques exemples intéressants.

D*une manière générale, d'ailleurs, pour trouver les conditions de divisibilité de deux polynômes A et B, entiers en Xy l'un par Tautre, il suffît de les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de X et d'essayer leur division en la poursuivant aussi loin que possible. Lorsqu'on ne peut plus continuer l'opération, le dernier reste obtenu égalé à zéro fournit la relation à laquelle doivent satisfaire les coefficients des deux polynômes pour que le second soit diviseur exact du premier.

La divisibilité algébrique a nécessairement des rapports intimes avec la théorie des nombres et avec celle des équations.

13. Condition de divisibilité d'un polynôme entier en x par un binôme de la forme x — a. — Nous reproduirons ici les deux démonstrations déjà données en Algèbre élémentaire {Alg. élém., 52, 53).

Première démonstration, — Désignons par X le polynôme dividende ordonné suivant les puissances décroissantes de x et supposé de degré m. Le diviseur x — a étant du premier degré en a?, la division pourra continuer tant que le reste ob-

lO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

tenu contiendra x. Le reste final de l'opération, s*il y en a un, sera donc nécessairement indépendant de jt, c'est-à-dire ne contiendra pas x.

Appelons Q le quotient trouvé, entier par rapport à ^, etR le dernier reste, s'il y en a un. On aura l'égalité fondamentale qui résulte de toute division (6,8)

Xi=r (jc— a)QH-R.

Cette égalité reste vraie, quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui y entrent. Elle subsiste donc encore quand on y remplace x par la valeur spéciale a.

Désignons par Xa (c'est là une notation générale très simple et très expressive) le résultat de la substitution de a à la place de X dans le dividende; remarquons que le facteur x — a, devenant égal à a— a, s'annule, tandis que l'autre facteur Q qui ne contient pas x en dénominateur prend une valeur finie ou égale à zéro; dans les deux cas, le produit (a? — a)Q disparaît. Quant au reste R, qui ne contient pas x, il ne change pas. On a donc identiquement

ce qui nous conduit à ce théorème très important : Quand on divise un polynôme entier par rapport à x par un binôme de la forme x — a, on obtient immédiatement le reste de la division en remplaçant dans le dividende la lettre x par la lettre a.

On peut donc, a priori, s'assurer de la possibilité de la division.

Si la substitution indiquée conduit à un résultat nul, on a R = o, et la division réussit.

Réciproquement, si la division réussit, R - o, et la substitution indiquée conduit à un résultat nul.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme entier par rapport à x soit divisible par un binôme de la forme x — a est donc que ce polynôme s'annule pour x t= a.

Deuxième démonstration, — Déterminons la loi de formation du quotient du polynôme X par le binôme x — a.

En établissant cette loi, nous donnerons une nouvelle démonstration du théorème précédent.

Le polynôme X a pour forme générale

X = k^X"" H- A, X""-^ -^ A, J?'"-* + . . . + knt-\X H- A,n.

En opérant par colonnes verticales {Alg, élém.y hl)j sa division par J7 — a présente évidemment la disposition suivante :

jc«-j>f.. . ..i A„. \x ~ a

° -. . A^ay^-'H-A^rt

-f-Aja"*-»

A„ .fl

jr^-M-. . .4- Anfl»"-'

-+- A,a^ 4- A.rt"»-*

En commençant la division, on aperçoit facilement comment les premiers termes du quotient se déduisent les uns des autres. On en conclut alors immédiatement que, le dividende étant un polynôme du degré m, le quotient est un polynôme complet du degré m — i , dont les coefficients se forment successivement en multipliant le coefficient du terme précédent par a, et en ajoutant au produit obtenu le coefficient du terme du dividende qui est de même rang que le terme qu'on veut écrire au quotient.

Le dernier terme du quotient est donc

Aoa'^-^-f- Aia'»-*-4- A,a'«-*H-. . .-r- A,n-îa 4- A,„,,

et, par suite, le reste delà division a pour expression

Ao a"» -f- Al a'"-* -h A, a'"-* -+-... -H A,n-i a -^ A,,,,

c'est-à-dire X^, comme nous venons de le démontrer par une autre voie. On arrive donc aussi au même théorème.

Si l'on éprouvait quelque difficulté à admettre la généralité de la loi énoncée, on emploierait un tour de raisonnement très usité et déjà indiqué en Arithmétique {Arithm., 325).

Si Ton suppose la loi vérifiée pour les n premiers termes du quotient, il est facile de voir qu'elle s'étend nécessairement au (n ■+- 1)»*™» terme; car si Pj?"*-» est le /i'*™® terme du quotient, le premier terme du reste correspondant est

(Pa + A/Ox'"-", de sorte que le (w -h i)'^"*® terme du quotient est

(Pa-hA«)j?'«-'»-*.

La loi, ayant été reconnue pour le deuxième et le troisième terme du quotient, est donc vraie pour le quatrième, et ainsi de suite jusqu'au dernier terme.

12 ALGEBRE SUPERIEURE.

14. Corollaires du théorème précédent, — Nous allons appliquer les résultats précédents à la recherche de certains caractères de divisibilité, essentiels à retenir au point de vue du calcul.

lo ^m — ^m ^^i toujours divisible par x — a, quel que soit V entier m.

En effet, en désignant par R le reste de la division de

Quant au quotient, nous Tobticndrons en appliquant la loi qu'on vient de démontrer et en remarquant qu'au dividende tous les termes compris entre les deux termes extrêmes ont zéro pour coefficient. On a ainsi immédiatement

On peut remarquer que ce quotient est homogène en x et en a.

20 x"^ -\- a'" n'est jamais divisible par x — a. En eiTet, on a, dans ce cas

On pourra donc simplement écrire (6)

3© ^m ^m j^iç^i divisible par x -\- a que si m est pair. Le théorème du n*» 13 exige simplement que le second terme du diviseur binôme soit précédé du signe — , sans aucune hypothèse sur la valeur de ce second terme. Nous pouvons donc mettre le diviseur x -h a sous la forme x — {— a) et appliquer les mêmes règles. Le reste de la division de jc'" — a"*par 07 — (—a) est alors

Ce reste n*est donc nul que pour (— a)"»z=a"», c'est-à-dire dans le cas de m pair {Alg, élém., 38).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l3

Pour avoir le quotient de la division indiquée, nous remarquerons que l'expression

jc — a

est vraie, quelle que soit la valeur (positive ou négative) mise à la place de a; elle subsiste donc quand on remplace a par — a. Il vient alors, puisque m est pair,

jc"^ — a"*^

Si m était impair, le reste de la division serait — 2 a'", et l'on aurait

^o j^m^a^n n*est divisible par x -\- a que si m est impair. Le diviseur étant ramené à la forme j? — (— a), le reste R de la division qu'on veut effectuer est {— a)"^-^ a'". Ce reste n'est donc nul que pour (— a)'"=:— a"*, c'est-à-dire dans le cas de m impair.

Si, dans l'expression de la division de x'^ — a"^ par x — a, on change a en — a en supposante impair, on obtient précisément le quotient demandé. On a donc

Si m était pair, le reste de la division serait 2 a"*, et l'on aurait

50 jQfn — ^m fi'cst divisible par xp — a^ que si m est un mul--

tiple de p.

En effet, en effectuant la division, on voit que, dans le premier terme de chaque reste, la somme des exposants de x et de a est toujours m, parce qu'en passant d'un reste au suivant l'exposant de a croît toujours de/?, tandis que celui de x dé-

l4 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

croît de la même quanlilé. Si Ton a m =: A:/? -h r, la division devient impossible au moment où Ton parvient au reste

Pour que la division soit possibje exactement, il faut et il sufQt

• f%.\lJC ^,t^Jt~ 0-crx,c: X, *

que ce reste soit fiuij oé qui entraîne la condition /* = o, c'està-dire m •=z kp. ^

Quant à la loi de formation du quotient, on remarque que, dans chaque terme, la somme des exposants reste égale à m — /) et que, lorsqu'on passe d'un terme au suivant, l'exposant de X diminue de/), tandis que celui de a croît de p. Quand la division est possible, on a donc

— x"^-P H- aPx'^-^P -h a}P x'^-^P -h . . .

xP — aP

-f- a'*^-^PxP -f- a'^-P,

On modifie facilement celte expression lorsque le reste n'est pas nul, et l'on étudie de la même manière les autres cas analogues à celui qu'on vient de considérer.