DIVISION DES POLYNOMES ENTIERS.— DIVISIBILITÉ

Division des polynômes entiers.

1. D'une manière générale, la division a pour but, étant données deux expressions algébriques , l'une appelée dividende, l'autre appelée diviseur, d*en déduire une troisième expression algébrique appelée quotient, qui, multipliant le diviseur, reproduise le dividende en valeur absolue et en signe.

Nous ne nous occuperons ici que de la division des polynômes entiers par rapport à une certaine lettre prise comme lettre ordonnatrice, en renvoyant à l'Algèbre élémentaire {Alg. élém,, 4-0, 4-1, 4-2, 4-3, 44.) pour tout ce qui se rapporte aux définitions, à la division des monômes et à celle d'un polynôme par un monôme.

Le plus souvent, quand on a deux polynômes entiers A el B à diviser l'un par Tautre, on ne peut qu'indiquer l'opération

sous forme fractionnaire r=. Cette fraction est bien le quotient; car, multipliée par le diviseur B, elle reproduit le dividende k{Alg, élém., 61).

Quelquefois, cependant, on peut remplacer l'expression

fractionnaire -jt par un polynôme Q, entier par rapport à la

lettre suivant laquelle les deux polynômes A et B sont supposés ordonnés : la division est alors réellement effectuée. C'est la recherche de ce polynôme Q que nous nous proposons, et ce sont les règles de la division des polynômes ordonnés que nous allons retrouver.

Pour fixer les idées, nous supposerons jusqu'à nouvel ordre que les trois polynômes considérés sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre x.

Il est entendu, d'ailleurs, qu'il ne s'agit que de quantités réelles, c'est-à-dire positives ou négatives.

Des divisions exactes.

2. 11 est facile de voir d'abord, en supposant que le problème admette une solution, qu'il ne peut en admettre qu'une seule.

En effet, s'il pouvait exister deux quotients différents Q et Q', on aurait à la fois

AizzBQ, Azi^BQ',

d'où l'on déduirait, par soustraction,

o = B(Q-Q') et, par suite, B n'étant pas nul,

Q~Q'=o ou Q = Q'.

3. Cela posé, nous raisonnerons comme il suit pour trouver le premier terme du quotient cherché et, ensuite, tous les autres.

Puisqu'on a, dans le cas examiné, -^ =0, on a aussi

A— B X Q. Le dividende est donc alors le produit exact du

diviseur par le quotient. Puisqu'il s*agit de polynômes ordonnés, le premier terme du dividende provient sans réduction du produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient; de môme, le dernier terme du dividende est égal au produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient {Alg. élém,, 27). On a donc ce premier théorème :

On obtient le premier terme du quotient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

De plus, le dividende représentant la somme des produits partiels du diviseur par les différents termes du quotient, si Ton retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme trouvé au quotient, le reste obtenu, ordonné comme le dividende et le diviseur, représentera la somme des produits partiels du diviseur par les autres termes du quotient.

On est ainsi conduit à une nouvelle division, dans laquelle on doit prendre ce reste pour dividende en conservant le même diviseur, et Ton a ce second théorème :

Si Von retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient, le reste obtenu^ divisé par le diviseur, donne l'ensemble des autres termes du quotient.

Par conséquent, en continuant Topéralion, on doit diviser le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, et l'on a le second terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce terme, on retranche le produit obtenu du premier reste, et Ton opère sur le second reste auquel on est conduit et sur les suivants comme sur le premier. Le dernier terme du quotient correspond à un reste nul, car on a retranché alors du dividende toutes les parties qui le composent.

Ainsi, quand la division est exacte, on arrive forcément à un reste nul, qui indique que le quotient est complet; et, quand on arrive à un reste nul, la division est exacte, puisque le polynôme dividende représente le produit du polynôme diviseur par le polynôme écrit au quotient.

Pour les exemples de divisions exactes et pour les différents cas qui peuvent se présenter, nous renverrons à l'Algèbre élémentaire {Alg. élém., W, W, 48).

6 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

4. Lorsqu'on a déterminé un certain nombre de termes du quotient, le reste auquel on s'arrête s'obtient toujours en reiranchant du dividende le produit du diviseur par les termes «uccessivemenl écrits au quotient. Par conséquent, en désigaanl par Qt l'ensemble des termes écrits au quotient à un moment quelconque de l'opération, et par Ri le reste correspondant, on a toujours l'égalité

R,r=A-BQ,

ou

A:::=:BQ,-f-Ri.

11 en résulte que, lorsqu'on suspend la division, supposée exacte, à un instant quelconquej le dividende est toujours identique au produit du diviseur par les ternies écrits jusque-là au quotient y augmenté du reste auquel on a arrêté le calcul.

Cette remarque conduit tout naturellement aux divisions qui ne peuvent s'effectuer exactement.

Des divisions impossibles exactement.