Chercher les conditions pour que le polynôme

AoX*-f- Ai,r3-h AîJ:*-h AaXH- A^

soit exactement divLnble par le polynôme

BoX*-+-BiJ:-i-B4.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. S>5

Il suffit (27) d*égaler identiquement le dividende au produit du diviseur par le quotient inconnu, qui est do la formo

Ce produit ayant pour expression

ao Bg :r* -I- ( «0 Bi -H ai Bo )a;»

-i-(aoBi-T- a|Bi-T-aijBo)^*H-(«iBtH-a,B|)x-H ajBj,

les équations d'identité seront

aoBo = Ao, aoB|-4- a,Bo~ Ai, a© Bj -f- ai Bi 4- ajBo = Aj,

aiBt-T-a2Bi= A3, atBi=A^.

On n*a pour obtenir les conditions demandées, qu'à éliminer ao, ai, a, entre ces équations. Les trois premières donnent d'abord

^ AiBq -AqBi

"^= Bï—'

A,BÎ-A,BoB,-f-AoBî — AoBoB, «î= j3 »

ce qui détermine le quotient. Puis, en substituant les valeurs de xo) ^it 2i dans les deux dernières équations d'identité, on obtient finalement, pour les conditions cherchées,

(i) AoB,[Bî-2BoBî]-AiBo[BÎ — BoB,]--A,Bo"Bi-A,BÎ = o, (2) AoB,[Bî— BoB,]-AiBoBiB,-+-A,B;B, — A4Bj = o.

Bemarque,

30. La méthode des coefncients indéterminés intervient, comme nous le verrons par la suite, dans un grand nombre de questions.

Toutes les fois que la forme des fonctions cherchées est connue d'avance, aucune difficulté ne peut se présenter.

Mais, si cette forme n'est pas explicitement donnée par la nature de la question et si on l'admet arbitrairement ou d'une manière intuitive, il faut, après avoir déterminé les coefOcients inconnus, prouver non seulement qu'ils satisfont bien à la question proposée, maïs encore établir que cette question ne comporte pas d'autres solutions.

En effet, un problème n'est complètement résolu que lorsqu'on s'est assuré que les solutions obtesues renferment, sans solutions étrangères, toutes celles que la question peut recevoir.

Cette vérification, souvent assez pénible, est quelquefois très difficile, sinon impossible ; mais on doit toujours la tenter.