PREMIERS PRINCIPES DE LA THÉORIE DES DÉTERMINANTS

Définitions préliminaires.

31. On entend par permutations de n quantités, représentées par les lettres

(l\y Clfy CLZf • • * 9 ^

flf

les dispositions qu'on peut obtenir en plaçant ces quantités ou en écrivant ces lettres à la suite les unes des autres de toutes les manières possibles. Ces quantités ou ces lettres constituent les éléments de la permutation.

On peut, dans une permutation quelconque, comparer chaque lettre à toutes les lettres qui la suivent. On dit alors qu*il y a dérangement ou immersion chaque fois que les indices des lettres comparées ne se présentent pas dans leur ordre naturel de grandeur croissante, c'est-à-dire chaque fois que le premier indice est plus grand que le second.

Par exemple, la permutation a, a, a, offre deux inversions, Tune de Oi à a,, et l'autre de aj.à a^, tandis qu'elle n'en offre pas de a, à a^. De môme, la permutation a/asai n'offre qu'une seule inversion, de a, à a,.

Les permutations qui contiennent un nombre />at> d'inversions sont regardées comme positives, et elles sont de la première classe; les permutations qui contiennent un nombre impair d'inversions sont regardées comme négatives, et elles sont de la seconde classe. C'est, en réalité, donner à chaque permutation le signe du produit formé par les différences qu'on obtient en retranchant l'indice de chaque élément des indices des éléments suivants; car, à chaque inversion, et seulement à chaque inversion, correspond alors une différence négative.

28 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

32. Principe pondàhentàl. — Lorsque^ dans une permutation, on échange deux lettres ou deux éléments, la permutatio nchange de signe ou de classe.

Remarquons d*abord que, lorsqu'on échange deux éléments consécutifs d'une permutation, elle change nécessairement de signe.

En effet, si Ton échange deux éléments consécutifs tels que a» et ap, les indices des éléments qui précèdent et qui suivent les deux éléments considérés conservent la môme relation de grandeur avec a et avec (3. Le nombre des inversions ne peut donc être modifié que de a>x à ap.

Or, si ces deux éléments présentent d'abord une inversion, ils n'en présentent plus après leur échange ou réciproquement. Le nombre total des inversions varie donc seulement d'une unité, c'est-à-dire de pair devient impair ou réciproquement, et la permutation change de signe (31).

Cela posé, admettons qu'on veuille échanger les deux éléments quelconques a^ et a/, et désignons par n le nombre des éléments qu'ils comprennent entre eux.

On peut alors amener a^ immédiatement avant ai par n échanges consécutifs, puis ai à la place occupée précédemment par a/4 par (/i -h i) échanges consécutifs; car il en faut un de plus pour amener d'abord ai avant a/,. On passe ainsi de la permutation donnée à la permutation voulue, en faisant subir successivement à la première (2/1 -f-i) changements de signe; (2/î h- i) étant un nombre impair, les deux permutations considérées sont, en définitive, de signes contraires.

33. La démonstration précédente prouve en même temps que les permutations positiK'es et négatives de n éléments sont toujours en même nombre.

En effet, à la permutation qui contient a^ et ai dans l'ordre , , .a/t, . .ai, , ., répond toujours une autre permutation qui contient les mômes éléments dans l'ordre inverse ,„ai,,,a/i.,,y sans autre changement; et ces deux permutations sont de signes contraires, d'après le théorème qu'on vient d'établir.

34. Étant donnée une disposition quelconque, si l'on fait passer le premier élément au dernier rang, sans aucun autre

ALGÈDRE SUPÉRIEURE.

changement, on soumet celle disposilion à ce qu'on appelle une permutation circulaire (Alg, élém,, 138).

Si la disposilion donnée renferme n éléments, on peut produire la permutation circulaire à l^aide de /i — i échanges consécutifs. Par conséquent, le signe de la disposilion ne change que dans le cas où n est pair (32) ; en d'autres termes, la disposilion primitive se trouve multipliée par (— i)"-*.

Des déterminants.

35. C'est en cherchant à résoudre d'une manière générale les systèmes d'équations linéaires qu'on a été conduit à l'étude des déterminants.

Le dénominateur commun des formules générales de résolution d'un système d'équations du premier degré contenant le même nombre d'inconnues a été appelé (nous verrons pourquoi) \e déterminant de ce système d'équations.

On le forme donc, dans le cas d'un système de deux ou de trois équations, comme il a été dit (Alg, élém,, 148, 155).

Si l'on a à opérer sur un système de quatre équations à quatre inconnues, on suit la marche indiquée {Alg, élém., 164).

La même loi s'applique à la formation du déterminant d'un système de n équations à n inconnues. Il sutTit de connaître celui de /i — I équations à n — i inconnues.

36. Il est d'ailleurs préférable de définir directement les déterminants, indépendamment des considérations précédentes.

Soit l'expression

al

ct\

al

qui représente le déterminant du n'*'"* ordre ou du «'*"»« degré (parce que tous ses termes sont du /i**"*® degré).

Elle est composée de n lignes horizontales ou de n co^ tonnes verticales, c'est-à-dire de n* éléments.

'^0 ALCiSBRE SUPÉRIEURE.

Chaque lellre est affectée de deux indices. L'indice i/i/ërieur marque la ligne où se trouve Télémenl, l'indice supérieur indique la colonne à laquelle il appartient.

Multiplions entre eux les éléments qui constituent la diagonale du carré figuré par l'expression, en partant du sommet supérieur de gauche et en descendant jusqu'au sommet inférieur de droite. Nous obtiendrons le produit

a\alal,,.al,

qui ne présente aucune inversion par rapport aux indices inférieurs ou supérieurs et qui a toujours le signe -h.

Ce produit est le premier terme du déterminant ou son terme principal.

Si, dans ce terme principal, nous laissons les indices inférieurs fixes, en permutant (31) les indices supérieurs, nous obtiendrons tous les autres termes du déterminant. Ces termes seront positifs ou négatifs, suivant que la permutation correspondante des indices supérieurs sera de la première ou de la seconde classe, c'est-à-dire présentera un nombre /?aïr ou impair d'inversions (31).

Le déterminant du «**"* ordre ou du /i»*"« degré est donc la somme des produits qu'on forme en associant, de toutes les manières possibles, n quelconques des n* éléments donnés, à la condition, toutefois, puisque tous les indices inférieurs doivent rester différents aussi bien que tous les indices supérieurs, qu'un même produit ne contienne jamais deux éléments appartenant à la même ligne ou à la même colonne, et que son signe satisfasse à la définition rappelée.

En résumé, on obtient les différents termes du déterminant en prenant comme facteurs, de toutes les manières possibles, un élément, et un seul, dans chaque ligne ou dans chaque colonne, et en suivant la règle adoptée pour les signes (31).

On voit que, parmi les termes d'un déterminant, on n'en peut jamais trouver deux qui soient égaux et de signes contraires, tant qu'aucune relation spéciale n'est imposée aux éléments considérés : il n'y a donc pas alors de réduction.

37. Nous venons d'indiquer comment on déduit un déterminant de son terme principal, en laissant fixes les indices inférieurs, et en permutant les indices supérieurs.

algebue supérieure. 3i

Si l'on permute, au contraire, les indices inférieurs, en laissant fixes les indices supérieurs, il est essentiel de montrer que l*on trouve le même déterminant.

En effet, dans le premier déterminant formé, les indices inférieurs étant écrits dans Tordre i, 2, 3, . . ., /i, ne présentent aucune inversion, de sorte que ces indices constituent une permutation de la première classe (31). On peut donc dire que, dans ce premier déterminant, les termes sont positifs ou négatifs suivant que la permutation des indices inférieurs et celle des indices supérieurs sont ou non de la même classe.

Mais, pour passer au deuxième déterminant, où les indices supérieurs doivent à leur tour présenter d'une manière fixe Tordre i, 2, 3, . . . , /i, il suffit évidemment d'échanger convenablement les fadeurs des termes du premier déterminant.

Les termes des deux déterminants sont donc d'abord égaux comme composés des mômes facteurs.

Les signes des termes égaux sont d'ailleurs les mômes; car les échanges successifs indiqués modifient, à la fois, la classe de permutation des indices inférieurs et celle des indices supérieurs (32). Par conséquent, les deux permutations, des indices inférieurs d'une part et des indices supérieurs d'autre part, demeurent respectivement ce qu'elles étaient dans la premier déterminant, de même classe ou déclasse différente, de sorte que les termes comparés des deux déterminants conservent aussi le même signe.

La démonstration qu'on vient de donner signifie au fond que tout ce qui est vrai pour les lignes est également vérifié pour les colonnes, et inversement.

38- Le nombre des termes du déterminant du /i»*™« ordre est, d'après la loi de formation indiquée (36 et 37), égal au nombre de permutations des n indices supérieurs ou des n indices inférieurs, ou de n quantités quelconques. Nous savons déjà {Alg, élém,, 408) que ce nombre est égal au produit 1 . 2 . 3 . . . n des n premiers nombres.

Ce déterminant renferme autant de termes positifs que de termes négatifs (33).

39. On indique, le plus souvent, un déterminant en limitant par deux traits verticaux le système des éléments, ou

bien en plaçant sous le signe 2, avec un double signe, le terme principal (36). On a ainsi, pour le déterminant du deuxième ordre.

r=iiÊ:a}aî

a\a\ — ajaj,

el, pour le déterminant du troisième ordre,

^:i1±ia\a\al

a\a\al -^- a\a\a\ a\a\a\ — a\a\a\,

Si Ton voulait permuter les indices inférieurs au lieu des indices supérieurs, on aurait identiquement, pour le déterminant du deuxième ordre et pour celui du troisième ordre,

= 2 ih a} a* ==i a\ a\ —

al

-: 2 ±: ajajaj

ala\a\ a\a\a\.

kO, Au lieu de distinguer les deux indices de chaque lettre en indice inférieur et indice supérieur, on peut les écrire horizontalement à côté Tun de Tautre, en les séparant par une virgule, quand on peut craindre qu'il n'y ait confusion avec les exposants. Le terme principal du déterminant prend alors la forme

Le premier indice répond à la ligne; le second, à la colonne. Nous croyons la première notation plus rapide et plus expressive.

41. On peut aussi conserver les indices inférieurs en changeant les lettres d'une colonne à l'autre du déterminant. L'indice correspond alors à la ligne, et la lettre à la colonne

occupée par l'élément. On emploie très souvent cette notation.

L'expression du déterminant du /t*^'°* ordre devient, dans

ce cas,

a, bi c, ... /,

a, b^ Cl

et il a pour terme principal le produit

Cl\ &I C} ... Ifi»

On déduit, comme précédemment, tous les termes du déterminant de ce terme principal, en laissant les indices invariables et en permutant les lettres de toutes les manières possibles. L'ordre régulier des lettres est Tordre a, ô, c, . . . , /. Il y a inçersion quand cet ordre est modifié d'une lettre à une des lettres suivantes. Le terme considéré esipositî/ou négatif, suivant qu'il présente un nombre pair ou impair d'inversions.

42. Il est bien entendu que, une fois le déterminant formé d'après les règles précédentes, on peut en écrire les différents termes dans tel ordre qu'on veut, ainsi que les facteurs de ces

ermes.

Il est important d'ajouter que les éléments du déterminant peuvent être représentés d'une manière tout à fait quelconque, c'est-à-dire indépendamment de toute notation régulière, sans que ces mêmes règles, qui se rapportent simplement aux rangs des lignes et des colonnes, soient modifiées.

43. Étant 'donné, d'une manière générale, le déterminant d'ordre ou de degré n, il est facile d'en déduire le déterminant d'ordre ou de degré /t + i.

SoH

un terme quelconque du déterminant d'ordre n. Désignons par m^ un nouvel élément quelconque du déterminant d'ordre /i-f-i. Si nous récrivons à la suite des facteurs qui composent T, nous obtiendrons évidemment un terme T' du déter-

Ob c. — Court, ni. 3

minant qu'on veut former, et ce terme aura pour expression

T'::^ ±: aaà^Cy . . . l\m^.

Son signe sera le même que celui deT, puisque aucune nouvelle inversion n*a été introduite dans T'.

Si Ton fait passer le facteur m^ successivement du dernier rang au premier, en modifiant à chaque fois le signe du produit (32), on obtient successivement des termes du nouveau déterminant avec leurs signes. Le nombre total des termes ainsi formés est évidemment /i -h i .

En opérant de même pour tous les termes du déterminant du /i**"*** ordre, en nombre égal à i .2.3. . . /i (38), on forme tous les termes du déterminant du {n h- i)»*™o ordre, en nombre égal à 1 .2. . ./i(/i-m).

Cette remarque concorde avec la première déOnition des déterminants et la première loi de formation indiquée (35).

Déterminants mineurs.

kk. On désigne souvent un déterminant dans son ensemble par la lettre A.

Lorsqu'on supprime dans un déterminant A plusieurs lignes et un même nombre de colonnes, le déterminant formé par les lignes et les colonnes conservées est un déterminant mineur du déterminant donné. L'ordre d'un déterminant mineur dépend du nombre des lignes ou des colonnes supprimées.

Si le déterminant A est de Tordre ou du degré n et si l'on y supprime une ligne a, et une colonne (3,, le déterminant mineur correspondant, qui est évidemment de l'ordre ou du degré n — i, est dit de première classe. On peut le représenter par la notation A^J, qui veut dire : déterminant A où l'on a supprimé la ligne «i et la colonne j3,.

Si Ton supprime dans A deux lignes a,, «^ et deux colonnes Pi, [3„ le déterminant mineur correspondant, qui est de l'ordre ou du degré n — 2, est dit de deuxième classe. On peut le représenter par la notation A^|f'.

. D'une manière générale, si l'on supprime dans A un nombre /> de lignes at, a,, . . ., «p et un nombre p de colonnes (3,, p,, ..., (3p, le déterminant mineur correspondant est de l'ordre ou du

degré n — />, et il est de la /?>*»« classe. On peut le représenter par la notation expressive A^J^J ;;2''.

En ajoutant Tordre et la classe d'un déterminant mineur, on reproduit toujours l'ordre du déterminant primitif.

Propriétés générales des déterminants.

45. I. Un déterminant ne change pas quand on y substitue les lignes aux colonnes et les colonnes aux lignes.

On a alors, en effet, à comparer les deux délorminanls

Cj ...

Cn ••

■ in

et

ai

bi bi 03

Cl C% C3

Or la diagonale du carré des éléments reste la même dans ces deux déterminants; ils ont donc même terme principal et sont identiques d'après la loi de formation indiquée (36).

Ce théorème se confond^ en réalité, avec la proposition du n* 37 et montre de nouveau que tout ce qui peut se dire des lignes s'applique aux colonnes, et inversement.

46. II. Quand on échange, dans un déterminant, deux lignes entre elles ou deux colonnes entre elles, ce déterminant est multiplié par — i.

En effet, cette modification revient à échanger, dans chaque terme du déterminant, deux indices ou deux lettres (36, 37, 41); par suite, la permutation représentée par chaque terme doit elle-même changer de classe ou de signe (32).

Tous les termes du déterminant changeant de signe, sa va- .y leur est bien multipliée par — i.

47. m. Lorsqu'un déterminant présente deux lignes ou deux colonnes identiques, ce déterminant est égal à zéro.

En effet, si l'on échange les deux lignes ou les deux colonnes identiques, le déterminant reste à la fois identique à luimême, et sa valeur A est multipliée par — i (46). Cette valeur

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

est donc nécessairement nulle; car, de

on déduit

2A=:o ou A = o.

48. IV. Théorème fondamental. — Tout déterminant est une fonction linéaire et homogène des éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, et, par suite, on peut toujours Vor^ donner suivant les éléments de cette ligne ou de cette colonne.

En effet, chaque terme du déterminant contenant, par définition (36), un élément de chaque ligne ou de chaque colonne, et un seul, ce déterminant est une fonction linéaire (c'està-dire du premier degré) des éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, choisie à volonté, Y^% plus, chaque terme étant du premier degré par rapport à l'élément de la ligne ou de la colonne désignée qu'il renferme, le déterminant est luimême une fonction homogène de ces éléments.

Cela posé, en mettant en évidence, dans chaque terme, l'élément qui appartient à la ligne ou à la colonne choisie, on pourra ordonner le déterminant suivant les éléments de cette ligne ou de cette colonne.

Soit, par exemple, le déterminant du troisième ordre

a^ bi Cl a^ bf C| ai bi c%

En choisissant comme éléments ordonnateurs ceux de la première colonne, on peut l'écrire sous la forme.

A| ûTi 4- Aj ûtj -f- Aj aj.

Aucun des coefficients Ai, A|, Ai ne peut contenir l'élément qui le multiplie (36).

II reste à trouver la loi de formation de ces coefficients.

49. Prenons, pour plus de généralité, le déterminant du /***"• ordre ou du /i**"»« degré, ordonné par rapport aux éléments de la première colonne. Il aura alors pour expression

A|atH-Ajaj4-Aia|4-. . .H-A^aj».

Tous les termes du déterminant qui contiennent aj, par

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 87

exemple, ne peuvent contenir aucun autre élément de la première ligne et de la première colonne dont ai fait à la fois partie (36). Dans ces différents termes, aj doit donc être multiplié par toutes les dispositions possibles de /t — i éléments choisis dans les n — i autres lignes et dans les n — i autres colonnes. Or ces dispositions forment précisément le déterminant mineur du (/i — 1)**°»« ordre et de la première classe (44 )y qu'on obtient en supprimant dans le déterminant considéré la première ligne et la première colonne; Ai n'est donc autre chose que ce déterminant mineur.

En répétant le même raisonnement de proche en proche, on conclut que les éléments ordonnateurs ai, a%^ a^, . . ., a„, ont respectivement pour coefficients A,, Aj, A», . . ., A», les déterminants mineurs de la première classe, qu'on déduit du déterminant proposé, en y supprimant successivement la ligne et la colonne qui se coupent sur Vêlement ordonnateur considéré,

50. La nouvelle forme qu'on peut ainsi donner à un déterminant conduit à des conséquences importantes.

Avant de les indiquer, nous écrirons les n valeurs du déterminant A ordonné successivement suivant les éléments des différentes colonnes. Ces valeurs seront

A = Aiai-h Aja,H- A,ajH-- . .4- A„a„, A r= B, ^j 4- B, 6, 4- B, ô, -f- . . . -4- B;» bn, A=:CiCi -(-C,C, 4-CjC, 4-. . .4-C„C«,

A=Li/i 4-L,/, 4-L,/, 4-...4-L„/„.

Bi est le déterminant mineur de première classe obtenu en supprimant dans A la première ligne et la deuxième colonne qui se croisent sur b^; Ci est le déterminant mineur obtenu en supprimant dans A la première ligne et la troisième colonne qui se croisent sur c^ - • • ; Lj est le déterminant mineur obtenu en supprimant dans A la première ligne et la /^ume colonne qui se croisent sur /„ et ainsi de suite.

On voit donc que les colonnes verticales qui apparaissent lorsqu'on écrit les équations précédentes les unes au-dessous des autres représentent à leur tour les valeurs du détermi • nant A, ordonné suivant les éléments des différentes lignes.

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Ces ri valeurs sont donc

A = Ai«i -hBibi 4-CiC, H-. .

A=: Aja, -4- B,6j H-C,c, H-. .

A = Aja, -h Bj^a -+- CsCj -4-, .

A =: An^n-^ B„6„+ C^^C^

51. V. Si, dans un déterminant, tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne sont nuls, à l'exception dUin seul, le déterminant proposé est égal au produit de cet élément par le déterminant mineur qu'on obtient en supprimant la ligne et la colonne qui se croisent sur ledit élément.

Soit le déterminant

al .

.. at ..

al

.. al ..

• al

al

al

■ al

al

al .

■ al

Supposons que, dans ce déterminant, tous les élétnents de la ligne a soient nuls, excepté celui de la colonne (3.

D'une manière générale, si on veut l'ordonner suivant les élénaents de la ligne ol^ on a, pour sa valeur, une expression de la forme (W, W, 50)

A — K, aâ H- K, «î -+- Ka aâ -t- . . . -h Kp a^ 4- . . . -h K„ aS.

Or cetle expression, où K», K„ Ks, . . ., Kp, . . ., K„ représentent les déterminants mineurs de première classe qu'on obtient en supprimant successivement la ligne et la colonne qui se croisent sur les éléments ai, aj, aj, . . ., a^, . . ., aS, se réduit évidemment, d'après l'hypothèse faite, à

A=Kpagz^agKp.

11 résulte immédiatement de ce théorème que tout déterminant peut être mis, si cela est nécessaire, sous la forme d'un déterminant d'un ordre plus élevé.

On a, par exemple,

Cs

bt

quelles que soient les valeurs données à d?!, .r,, 0^3.

52. VI. Lorsque tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne sont nuls, le déterminant a une valeur nulle.

Celte proposition résulte immédiatement de la précédente, comme celle-ci résulte du théorème fondamental du n" 4.8.

53. VIL Lorsque, dans un déterminant , tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale du carré des éléments sont nulSf la valeur du déterminant se réduit à celle de son terme principal.

Pour le démontrer, il suffit d'écrire successivement, d'après le théorème V( 51),

O Cj ... I2

bt

Cz

In

Cj V . . «3

ûf| OjCj . . . l/i»

54. VIII. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise par un même nombre tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, la valeur du déterminant est multipliée ou divisée par ce nombre.

En effet, si Ton multiplie ou si Ton divise tous les éléments de la ligne a du déterminant par un facteur /^^ la valeur A du

40 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

déterminant, telle qu'on Ta écrite d'une manière générale au n<* 51, est elle-même multipliée ou divisée psiV p. Ce théorème entraîne les conséquences suivantes :

On ne change pas la valeur d'un déterminant en suppri" mant ou en introduisant un /acteur commun aux éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, pourvu qu'on mette ce /acteur en évidence comme multiplicateur ou divi~ seur du déterminant.

En particulier, si l'on change les signes de tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, on change également le signe de la valeur du déterminant, puisque le facteur introduit est alors égal à — i. Donc, pour rendre au déterminant sa valeur primitive, il/aut diviser ou multiplier par — i la valeur obtenue,

55. IX. Lorsqu'un déterminant comprend deux lignes ou deux colonnes proportionnelles (c'est-à-dire composées d'éléments respectivement proportionnels), sa valeur est égale à zéro.

En effet, si le rapport des éléments de la première ligne considérée aux éléments correspondants de la seconde ligne est égal à p, on peut multiplier cette seconde ligne par p^ pourvu qu'on divise la valeur du nouveau déterminant par ce même facteur (54). Mais, dans le nouveau déterminant, la seconde ligne est devenue identique à la première : sa valeur est donc nulle (47), et il en est de même de celle du déterminant primitif.

56. X. Si les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne sont des sommes d'un même nombre de quantités, le déterminant proposé est la somme d'autant de déterminants que l'un de ces éléments contient de termes. Ces déterminants se /or ment en associant respectivement les différents termes des éléments de la ligne ou de la colonne composée avec les éléments des autres lignes ou des autres colonnes simples.

Ce théorème se démontre immédiatement en ordonnant le déterminant suivant les éléments de la ligne ou de la colonne composée, c'est-à-dire en se reportant au théorème fondamental (48, 49).

On a, par exemple,

«1 -H ky bi Cl «j -H kt bi c, flr, H- A:, ô, C|

fll

Ct

A, bi c, k^ b^ c,

57. XI. On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant aux éléments d'une même ligne ou d'une même colonne ceux d'autres lignes ou d'autres colonnes respectivement multipliés par des facteurs constants.

On n'a, pour démonlrer cette proposition, qu'à réunir les théorèmes X et IX (56, 55).

On a, par exemple (56),

a, -4-mô,-+-^c,

Uf-^ mbi-hpCf bi Ci

a, 4- m ô, 4- />c, ô j Cl

a, by Cx

mbi

bx Cy

PCi

bx C|

«j 6, Ci

mbf

bt c.

pc%

br c,

aj 6, c,

bt

bz Cj

PCi

bi c,

Les deux derniers déterminants présentant deux colonnes proportionnelles ont des valeurs nulles (55), et l'énoncé est justiflé.

Cet énoncé s^étend évidemment au cas où Ton modifie de la même manière plusieurs lignes ou plusieurs colonnes du déterminant, et à celui où les coefficients constants, tels que m eip, sont égaux à ±: i.

Il résulte encore du théorème qu'on vient de démontrer que, si les éléments correspondants d'un certain nombre de lignes ou de colonnes sont liés, dans le déterminant proposé, par des relations linéaires et homogènes, ce déterminant est nul.

Admettons, en effet, que ces relations linéaires et homogènes soient précisément exprimées par les équations

aj 4- m^i -f- pCx ■=■ o, a,4-m6,H-/>c, = o, a^-h mb^-h pci = o.

Le nouveau déterminant, considéré ci-dessus et identique

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

au proposé, aura alors une colonne d'éléments nuls et sera nul (52), ainsi que le déterminant primitif

58. XII. Lorsque deux déterminants ne diffèrent que par une ligne ou une colonne, on peut les réunir en un seul dé^ terminant égal à leur somme ou à leur différence, en ajou^ tant ou en retranchant terme à terme les deux lignes ou les deux colonnes non identiques et en conservant toutes les autres.

C'est la réciproque du théorème X (56). Si Ton a, par exemple, les deux déterminants

a^ b^ Ci «3 ai c,

et

a, bi Ci «j bz Cj

qui ne diffèrent que par leurs premières colonnes, on peut les ordonner respectivement (48, W) suivant les éléments de cette première colonne et écrire, d'après la notation adoptée (W) et en désignant par A}, AJ, AJ les déterminants mineurs de première classe obtenus en supprimant, dans les deux déterminants, la première colonne concurremment avec la première, la deuxième ou la troisième ligne,

D = aiAÎ-f-ajAjH- «jAJ, A = aiA{ -h a,AJ -+■ «jAÎ.

Il en résulte, en prenant ensemble les signes supérieurs et les signes inférieurs,

D±:A:i=(ai±aOAÎ4-(a,±a2)AJ-h(«3±a3)AJ, c'est-à-dire

D-hA=z

ai + ai ft, C|

«J + «î b% Ci a,-4-c3ts ôj Cz

et D — A=:

«1 — «1 bi Cl «j — «t ^s Ci flfs — «j ^s ^i

algebue supérieure.

Loi de formation d'un déterminant.