Cela posé, il y a deux cas à distinguer

Si toutes les inconnues ne sont pas principales (87), les expressions V,, Vj, ..., Vp, renferment linéairement, comme on vient de le rappeler, les m — p inconnues non principales ^P-hif ^p+i} • • •> '^m9 7"* restent arbitraires, de sorte qu'il y a indétermination et que cette indétermination est de l'ordre m — p.

On peut alors, en revenant aux équations (6), énoncer la règle suivante, tout à fait générale :

Les inconnues principales, fonction des autres inconnues qui demeurent arbitraires, s'expriment sous forme de fractions ayant pour dénominateur commun le déterminant principal à et, pour numérateurs respectifs, les déterminants qu'on obtient en remplaçant, dans le déterminant ô, les éléments de la colonne de rang égal à Vindice de l'inconnue principale considérée par les seconds membres correspondants

''17 ^ ty • • • « ^ p*

Si toutes les inconnues sont principales (87), auquel cas on Si m=z n=z p, les seconds membres V,, V,, . . . , V^, ne contiennent plus d'inconnues et se réduisent respectivement aux termes tout connus A:,, A:,, . . ., kp, des équations (i). Le système proposé n'a donc alors qu'une solution unique et déterminée, et Ton retrouve exactement les règles de Cramer (80) comme cas particulier du cas général.

La seconde partie de la proposition, énoncée au n°89, est donc, à son tour, établie.

92. Nous avons laissé de côté le cas où le Tableau (T) aurait tous ses éléments nuls, c'est-à-dire le cas où les coefficients des inconnues dans les équations (i) seraient tous nuls.

Il est évident que, dans cette hypothèse, les équations proposées sont incompatibles si les termes tout connus Ai, A*,, . . . , A:„, ne sont pas tous nuls, et qu'elles forment un système tota-lenient indéterminé, toutes les inconnues étant arbitraires, si ces mômes termes tout connus sont tous nuls.

Applications.

93. 11 ne sera pas inutile de préciser, par quelques exemples, le mode d'emploi de la méthode générale de M. Rouché.