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On obtiendra les équations (3) en égalant ce résultat à zéro et en faisant varier (3 depuis i jusqu'à p.
Mais, à cause de la composition de Xi, Xj, . . ., Xp (88), la deuxième partie du déterminant (4) est la somme des déterminants obtenus en prenant successivement dans la colonne composée une colonne partielle. En mettant en facteur commun dans cette colonne partielle Tinconnue qu'elle renferme (j7,, x„ j:s, . . . ou a-p), on fait apparaître deux colonnes identiques dans le déterminant correspondant qui est, par suite, égal à zéro. 11 n'y a d'exception que pour la colonne partielle où l'indice supérieur du coefficient de l'inconnue a la valeur donnée à (3 et où le facteur commun est j^^T On a donc, en réalité, à la place du déterminant (4) et pour les équations (3),
a^* Vp aP-» . . . aj
— ÛC
at' ag ag-
OU, le second déterminant n'étant autre chose que le déterminant principal $,
(5) 5.jrp=:
ûf « ... dp y p o-p
Quant au déterminant (3'), il est égal, si l'on tient compte de la composition de Xi, Xj, . . ., X^, Xp+ai en même temps que de celle de Vj, V„ . . . , V^, V^^.a, à la somme des déterminants obtenus en prenant successivement dans la dernière colonne composée une colonne partielle. Tant que le rang de la colonne partielle choisie sera inférieur ou égal à />, le déterminant partiel correspondant sera nul comme ayant deux colonnes proportionnelles (55). Lorsque le rang de la colonne partielle choisie dépassera p-^i, on obtiendra, sauf le facteur commun orp^oL à mettre en évidence, un déterminant partiel d'ordre p-^i, déduit du Tableau (T) [86]. Ce déterminant d'ordre />-hi sera nul, lui aussi, d'après la définition du déterminant principal (87). Il ne restera donc plus, comme valeur du déterminant (3'), que le déterminant partiel correspondant à la colonne partielle de rang p -h i (88) ou à la colonne partielle formée par les termes tout connus des équations (i) [86], changés de signe, c'est-à-dire (54^)
ai
aP
Or ce déterminant n'est pas autre chose que le déterminant caractéristique dp.^^, changé de signe (87). Il en résulte que les équations (3') se réduisent à
ip+a = O
En divisant l'équation (5) par d qui n'est pas nul, on substituera finalement au système (3, 3') le système formé par les équations (5, 5') ou par les équations
Xp=z
Vj a
a^-' \p ap
ALGEBRE SUPÉRIEURE. "J^
et
(6') dp^^T=zo (a=:i,2, 3, ...,n— j»).
Les équations (6') sont indépendantes des inconnues, condition qui n'est pas remplie parles équations (6). Il faut donc, pour que les équations (6, 6') soient compatibles, que les équations (6') soient satisfaites d'elles-mêmes, c'est-à-dire que le système (ii) n'admette pas de déterminants caractéristiques ou que tous ses déterminants caractéristiques Sp+i, dp^i, àp+i, . . ., an, soient nuls.
Inversement, s'il est ainsi, le système (6, 6') se réduit aux équations (6), D'ailleurs, S n'étant pas nul et Vj, V„ . . ., V^, étant des fonctions linéaires de ^p+i, ^p-^%f ^p+z, . . ., ^mj on voit que, pour tout système de valeurs attribuées arbitrairement à ces inconnues, on obtient, par ces équations (6), pour les autres inconnues x^y j?„ x^, . . ., ^p, des valeurs déterminées. En d'autres termes, les équations proposées sont compatibles.
La première partie de la proposition fondamentale^ énoncée au n*» 89, est donc établie.
