Lorsqu'une grandeur ou une quantité variable X

se rapproche indéfiniment d'une grandeur ou d'une quantité

/ixe A, de manière que la valeur absolue de la différence

A — X puisse devenir et rester plus petite que toute quantité

donnée aussi petite qu'on voudra, on dit que A est la limite

de X, et Ton écrit

JimX = A.

112. i'* Une quantité variable ne psut tendre vers deux limites distinctes.

Supposons, en effet, qu'une pareille quantité puisse avoir deux limites différentes a et 6, telles que

a — b^= dy

. > d et soit ô < - •

Les intervalles compris, d'une part, entre a -h ô et a — ô et,

d'autre part, entre b -\- à Qib — à, n'ont évidemment rien de

commun. Les quantités

b — ô, b + Sy a — d, a -4- 3, sont, en effet, rangées par ordre de grandeur ; car la différence

«nlre les deux termes intermédiaires est égale à

a — b — 20 ou à d — ^Oy

quantité positive d'après Thypothèse {Alg, élém,, 214-).

Cela posé, une quantité variable qui aurait pour limite a finirait par tomber entre a -h 5 et a — d (111), tandis qu'une <]uantité variable qui aurait pour limite b finirait par tomber entre 6 h- o et 6 — 5. La quantité variable considérée finirait <lonc, en tendant vers ses deux limites différentes a et 6, par être comprise à la fois dans deux régions complètement séparées, ce qui est impossible.

113. 3» Lorsque deux grandeurs sont multiples d'une troisième grandeur, cette troisième grandeur se nomme leur commune mesure.

Deux grandeurs sont commensurables ou incommensurables entre elles, suivant qu'elles ont ou qu'elles n'ont pas de commune mesure.

114. 4* Lorsqu'une grandeur a une commune mesure avec l'unité choisie, celle commune mesure est l'unité elle-même ou une partie aliquote de l'unité. Dans le premier cas, la grandeur considérée est me^wr^e par un nombre entier; dans le second cas, elle est mesurée par un nombre fractionnaire.

Réciproquement, toute grandeur mesurée par un nombre entier ou par un nombre fractionnaire est commensurablc avec l'unité; car cette grandeur est un multiple de l'unité ou d'une partie aliquote de l'unité.

Une grandeur incommensurable avec l'unité ne peut donc être mesurée^ ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire.

115. 5<> Un nombre est dit <:om/ne/i5«ra^/e ou mcomme/WMrable, suivant que la grandeur dont il exprime la mesure est commensurablc ou incommensurable avec l'unité.

Les nombres commensurables sont les entiers et les nombres fractionnaires.

Les nombres incommensurables ne peuvent être représentés dans leur intégrité que par des symboles particuliers; mais on peut toujours indiquer des nombres commensurables qui en approchent autant qu'on veut. C'est ce que nous allons faire voir.

lOO ALGEBIE SUPÉRIEURE.

116. Considérons une grandeur A incommensurable avec Tunilé que nous désignerons par B. Elle sera mesurée par un nombre incommensurable a (115).

n étant un nombre quelconque, entier ou fractionnaire^

formons la grandeur -? et admettons qu'elle soit contenue

m fois dans A, avec un reste moindre que — : le plus grand

multiple de — contenu dans A sera m - > et la grandeur incommensurable A sera comprise entre les deux grandeurs commensurables

zn — et (m h- i) — • n H

Si Ton conserve toujours B pour unité, ces deux grandeui's commensurables seront mesurées par les nombres

— et

On dit alors que — et sont deux valeurs, approchées

à moins de -y du nombre incommensurable a qui mesure A, la première par défaut, la seconde par excès, et l'on a

jn m -^ ~ <«<

117. Pour aller plus loin, désignons par a« et a^ ces valeurs approchées de a.

Remarquons que, d'une manière générale, a„ ne croît pas toujours avec n. Si nous prenons, par exemple, la diagonale d'un carré en choisissant son côté pour unité, cette diagonale

est représentée par \J^ {Géom., 169), et si l'on extrait cette

racine par défaut, à — près d'abord, à — près ensuite

lA i5 (JreVAm.,283), on trouve pour résultats — et — > c'est-à-dire

Pour lever toute difQcuIté, nous appellerons valeur prin-

ALGEBRE SUPArIEUIUE:. IOI

cipale (*) de a, à moins de -par défaut^ la plus grande de

toutes les valeurs de a^ quand on fait croître n depuis zéro jusqu'à /i, et nous désignerons cette valeur principale par a^,- De cette manière, quand n croîtra, la valeur principale «„ croîtra aussi ou,' du moins, ne décroîtra jamais.

Remarquons^ de même, que aj» ne décroît pas toujours à mesure que n augmente. Si nous considérons, par exemple, le côté du triangle équi latéral inscrit dans une circonférence dont le rayon est Tunité choisie, ce côté est représenté par

\JZ {Géom., 205), et si Ton extrait cette racine par excès, à

— près d'abord, à — près ensuite, on trouve pour résultats

— et — ^ c est-a-dire a,. . . > a„.

Nous appellerons donc aussi valeur principale de a, à

moins de - par excès, la plus petite de toutes les valeurs de

-a', quand on fait croître n depuis zéro jusqu'à n, et nous désignerons cette valeur principale par aj,. De cette manière, qoand n croîtra, la valeur principale oLj^ décroîtra ou, du moins, ne croîtra jamais.

118. Cela posé, oin, mesurant une grandeur inférieure à A reste égalemeniinférieure, quel que soit n, à Tune quelconque des valeurs aj^ approchées par excès ; et, comme a„ ne peut que croître (117) lorsque n croît indéfiniment, la série des valeurs de a^ tend nécessairement vers une certaine limite iixe.

De même, «^ mesurant une grandeur supérieure à A reste également supérieure, quel que soit /i, à Tune quelconque des valeurs a^ approchées par défaut; et, comme «'„ ne peut que décroître (117) lorsque n croît indéfiniment, la série des valeurs de a„ tend aussi vers une certaine limite fixe.

Ces deux limites de oLn, et de a'^ se confondent d'ailleurs ; car, par définition (117), les valeurs principales (x^ et ol^ sont toujours comprises entre a„ et a'„, et, par suite, leur différence

(*) Voir Traité de Géométrie ^ par Ecr.. Rouché et Ch. db Cohberousse, 5* édition, reTue et aaçmentée, 1883. Cette idée de valeur principale appartient à

M. ROCCBÉ.

102 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

est moindre que

fraction qui tend vers zéro autant qu'on veul, quand n croît indéOninDent suivant une loi quelconque.

Cette limite commune qui représente aussi, d*après ce qu*on vient de dire, celle vers laquelle tendent en même temps les deux séries de valeurs correspondantes de a^ et de a'^, est le nombre incommensurable a.

La grandeur incommensurable A est, à son tour, la limite commune des grandeurs commensurables mesurées par ces deux mêmes séries de nombres commensurables.

119. Nous ajouterons, pour préciser les notions qu'on vient de rappeler, que, dans la pratique, il importe peu qu'il y ait ou non de commune mesure entre une grandeur et l'unité cboisie, parce que les subdivisions de cette unité deviennent rapidement assez petites pour que le reste de la grandeur à évaluer échappe à toute appi*éciatioh physique.

Mais y quand il s'agit de grandeurs géométriques, par exemple, liées par des relations déterminées, on peut démontrer théoriquement leur incommensurabilité. Ainsi on prouve que la diagonale et le côté du Qarré n'ont aucune commune mesure, et cela, que l'unité choisie soit le côté du carré ou toute autre grandeur.

On voit donc que, si l'on n'étendait pas l'idée de nombre comme nous venons de le faire, il faudrait distinguer les cas où les grandeurs peuvent être exprimées en nombres avec une certaine unité, sans pouvoir Tôlre avec une autre, ou bien encore se résigner à admettre dans la même question des grandeurs mesurables à côté de grandeurs non susceptibles d'être exprimées en nombres, quelle que soit l'unité choisie (0- L'alternative ne saurait être douteuse.

Opérations sur les nombres incommensurables.

120. Nous devons maintenant revenir sur les opérations usuelles appliquées aux nombres incommensurables.

(*) J.-M.-C. Di'HÀMEL, Des méthodes dans les sciences de raisonnement, II* Partie, p. 70.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Io3

Puisque les nombres ne sont que la représentation des grandeurs, on est conduit par ce qui précède à celte définition générale :

Le résultat de toute opération sur des nombres incommensurables est la limite des résultats fournis par la même opération appliquée à leurs valeurs approchées à moins de —y

par défaut ou par excès, lorsque n croit indéfiniment, suivant une loi quelconque.

Nous allons vérifier, pour chaque opération, que celte limite existe et qu'elle ne dépend pas de la manière dont n croît indéfiniment.

Dans ce qui suit, nous désignerons para et (3 les deux nombres incommensurables proposés; a„ et a«, ba et b',^ seront les valeurs de ces nombres approchées par défaut et par excès à

moins de -; a^, et a^, '^^ et |3^*, les valeurs principales correspondantes; «est la limite commune de a^, «„, a», «„, comme ^ celle de b„^ b'„^ |3;,, (3'„, quand n croît indéfiniment (118).

121. Addition. — Il faut définir la somme de deux nombres incommensurables a et |3.

Formons les deux sommes «„ -h (3„ et ««-+- P^. Elles constituent deux séries correspondantes, lorsqu'on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

Les nombres de la première série, sommes des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (117)^ croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, sommes des valeurs principales par excès, ne pouvant croître (117), décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limile qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrètant à un rang quelconque, la différence

(««-^P'J-(««-+-PJ ou «-««)-H((3',-~(3;,)

est moindre, d'après la définition des valeurs principales, que la différence

lo4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut, pour n croissant indéfiniment suivant une loi quelconque.

C'est cette limite commune qui est la somme a -f- (J.

La même définition s'appliquera évidemment au cas de plus de deux nombres, pourvu que les nombres à ajouter soient en nombre y?/ie. Nous reviendrons sur ce point.

122. Soustraction. — On dit que a est plus grand que {3, si l'on a, quel que soit n, <Xn> (3'„.

Il faut définir la différence de deux nombres incommensurables a et (3.

Formons les deux différences an—'^'n et oL^—^n en associant les valeurs principales par défaut aux valeurs principales par excès, et réciproquement. Elles constituent deux séries correspondantes, lorsqu'on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

Les nombres de la première série, ne pouvant décroître d'après la définition des valeurs principales, croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, ne pouvant croître, décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s^arrêtant à un rang quelconque, la différence

est moindre que la différence

qui tend vers zéro autant qu'on veut pour n assez grand. C'est cette limite commune qui est la différence a — ,3. Comme on a, quel que soit /i,

on a aussi, à la limite,

et la différence a — ^ est le nombre quiy ajouté à ^, repro^ duit a.

ALGÈBRE SUPÉRIEUHE. Io5

li3. MuLTiPLiGATioif. — Il faut définir le produit de deux nombres incommensurables a et (3.

Formons les deux produits (Xn^n et ol^^'^ qui constituent deux séries correspondantes quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

Un raisonnement identique à celui du n^' 121 montre que les nombres de ces deux séries convergent respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrètant à un rang quelconque, on a

et les deux fractions du second membre de cette identité {Àlg. élém., 61) tendent en môme temps, autant qu'on veut, vers l'unité (118), lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque.

C'est cette limite commune qui est \e produit «(3.

La même définition s'appliquera évidemment au cas d'un nombre quelconque de facteurs incommensurables, pourvu que ce nombre so'ii Jini. Nous reviendrons sur ce point.

Comme on a

quel que soit n, on a aussi, à la limite,

a(3 HT ;3a.

La valeur du produit ap, telle qu'on vient de la définir, est donc indépendante de l'ordre des facteurs.

11 en résulte que le théorème fondamental relatif au changement d'ordre des facteurs d'un produit {Arithm,, 66) s'étend, avec toutes ses conséquences, au cas d'un nombre quelconque de fadeurs incommensurables.

i2i. Division. — Il faut définir le quotient de deux nombres incommensurables a et [3.

En associant les valeurs principales par défaut aux valeurs principales par excès, et inversement, formons les deux quo-

tients ~ et ^? qui constituent deux séries correspondantes,

quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

lo6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Un raisonnement identique à celui du n» 122 montre que les nombres de ces deux séries convergent respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrètant à un rang quelconque, on a

«rt . f4 «/» P«

et les deux fractions du second membre de cette identité {Alg. élém,, 62) tendent en môme temps, autant qu'on veut, vers l'unité (118), lorsque n croît indéfmiment suivant une loi quelconque.

C'est cette limite commune qui est le quotient ---

Comme on a, quel que soit //,

on a aussi, à la limite,

et le quotient ^ est le nombre qui, multiplié par ,3, reproduit (X,

125. Puissances. — Ce que nous avons dit relativement au produit de deux ou de plusieurs facteurs incommensurables (123) doit subsister lorsqu'on suppose tous les facteurs égaux entre eux. C'est ce qu'on peut vérifier directement.

m étant un nombre quelconque entier et positif, mais Jini, il faut définir la puissance /n'*»"° d'un nombre incommensurable a.

Formons les deux puissances («„)'" et (a^)"*. Ces puissances constituent deux séries correspondantes, quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

Les nombres de la première série, puissances des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (117), croissent en général, en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, puissances des valeurs principales par excès, ne pouvant croître (117), décroissent en général, en restant supérieurs à un

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. lO'J

nombre quelconque de la première série. Les nombres des doux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrètant à un rang quelconque, on a {Arithm., 218)

et la fraction entre parenthèses du second membre de cette identité tend autant qu'on veut vers Tunité, lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque (118).

C'est cette limite commune qui est la puissance m'^'^^ a"*, de a.

126. Racines. — C'est l'extraction des racines qui nous a conduit, en Arithmétique, à la notion des nombres incommensurables.

D'une manière générale, extraire la racine m**"» d'un nombre, en supposant m quelconque, mais entier et positif, c'est chercher le nombre qui, élevé à la puissance m, reproduit le nombre donné.

Il résulte de cette définition que les racines m»*"»" des nombres entiers qui ne sont pas des puissances exactes du même degré m d'autres nombres entiers, et les racines m'*"»^* des fractions irréductibles dont les deux termes ne sont pas des puissances exactes de degré m, sont des nombres incommensurables {Arithm., 218, 219).

Si nous considérons un nombre positif A, il y aura donc trois cas à distinguer.

Si A est entier et si l'on peut trouver un nombre entier a,

tel qu'on ait

a sera la racine /n»«"**^ de A.

Si A est fractionnaire et égal à — > on peut poser

Si Ton trouve alors un nombre entier a, tel qu'on ait

a'"=zpq"^-^.

Io8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

on a au9si évidemment

cl le nombre fractionnaire - sera la racine m**«® de A.

On voit que Vextraction de la racine d'un nombre fractionnaire peut toujours se ramener à Vextraction de la racine d'un nom.br e entier^

Nous supposerons, par conséquent, comme troisième h}T)o- Ihèse, que A est entier et qu'il ne représente pas une puissance m»*"»« exacte. Sa racine m**"" sera alors un nombre incommensurable «, qu'il s'agit d'abord de définir.

n étant un entier quelconque, admettons qu'on veuille

obtenir la racine m**"* de A, à - près, par défaut ou par

excès.

Si nous considérons la suite des puissances m'*"®* des nombres entiers consécutifs

le produit entier An'" tombera nécessairement entre deux termes consécutifs de cette suite, tels que A'" et (A-hi)"*, de sorte qu'on aura

A'«<A/i"'<(X:-Hi)

ou

le te \ I \

— et sont les racines m**"*«* de A, à — près, par défaut

et par excès. Nous les représenterons (120) par a^ et a^, et les valeurs principales correspondantes (117) seront a« et «„. Quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque, ces valeurs principales constituent deux séries conjuguées auxquelles le raisonnement général adopté en traitant des autres opérations (121 etsuiv.) est encore applicable. Les termes des deux séries convergent donc respectivement vers une limite déterminée, qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrôtant à un rang quelconque, on a (118)

ALGÈimB SUPÉRnSURB. IO9

et la fraction - tend vers zéro autant qu'on veut, quand n

cspéii ÎDdéflniment suivant une loi quelconque. Cette limite commune est le nombre incommensurable

127. Si, au lieu d'un nombre entier quelconque A, on a maintenant à considérer un nombre incommensurable L, la racine m»«™** de L est, a fortiori, un nombre incommensurable X qu'on définit comme il suit.

Remplaçons L par deux valeurs commensurables appro-

chées par défaut et par excès à - près, telles que et >

n étant un entier quelconque.

r I Cherchons la racine m»*"^« de la première quantité — à —

^vèspar défaut, et la racine m**™® de la seconde quantité

à - près par excès (126). Nous désignerons ces deux racines n

par In et l'„. Les valeurs principales correspondantes 1„ et 1'^ constituent deux suites conjuguées tendant chacune vers une limite déterminée, qui est la même pour les deux suites, quand n croît indéfiniment.

En effet (126), la limite de X„ est le nombre incommensurable

et celle de )/„ est le nombre incommensurable

Oq a donc, par définition.

fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut quand on fait croître n indéfiniment suivant une loi quelconque. On a, d'ailleurs (14-, 124, etc.),