f-foî/ 5(i-f

En posant = ^, on a la nouvelle équation

7? •— aa = I,

d'où

lt—^ u = •

On doit donner à / les valeurs o et i (187). Pour/ = 1, on a M= 3.

Les formules générales seront donc

Il en résulte n-20>oet3-i-76>o, c'est-à-dire

e>I et e>-?.

Toutes les valeurs entières et positives de 0 conviennent donc à partir de o.

Si Ton revient maintenant à x = 3^ = 6 -h iom, on a

x = 6-hio(3-t-7e)=36-h7oO.

Si renoncé indiquait, en outre, que le nombre des pages du livre est compris, par exemple, entre 400 ot 5oo, la solution deviendrait unique et déterminée et répondrait évidemment à 0 = 6 : elle serait donc

196. 3** Un propriétaire a dépensé looo^^ pour payer le travail de ses ^vendanges à une troupe d'hommes et de femmes : chaque homme a reçu 19'', chaque femme y ii'"". Combien y avait-il d'hommes et combien de femmes ?

Soient xQiy les deux nombres cherchés. Il faut résoudre en nombres entiers et positifs l'équation

igx-Hi 1^ = 1000.

Le nombre des solutions sera limité (193).

En tirant de l'équation

1000 — iQ.r 7= ^-

et, en faisant varier x entier depuis o jusqu'à 10, on est certain d'obte-

ILCÈBIte SUPÉRIEURE.

aleur entière de j (181, 187), Pour j; = j, on Irouve^ = 84. lies générales h appliquer sont donc

x=s 4 — lie 61 7 = 84-1-196,

lit avoir 4 — 1 1 8 > o, 84 -1- rgO > o, cest-ù-diro

e>?i et 6<1.

lient entier de 8j par 19 étant 4, 0 ne pourra admettre que les 1rs

ioDS du problème sont donc

DU en nombrea entiers de m équations contenant m -t- 1 inconnaes.

Vous considérerons d'abord spécialement le vfs de ualions à trois inconnues. Soient ces deux équaUoris

aa: -i- by -f-C3 =d, a'iT-t- b'y-hc'z^:d'.

lations sont supposées ramenées à leur plus simple ion, c'est-à-dire que les coefficients a, b, c, d sont s entre eux dans leur ensemble, ainsi que les coefH- ', b', c', d'.

que le problème soit possible, chaque équation doit e séparément des solutions cnliôres. Il faut donc évinl (181) que les coemcients a, b, c soient aussi prentre eux dans leur ensemble, ainsi que les coelïicienls

nons z entre les équations (i) et (a). Il vient

{ac'— ca')x ■+■ (bc' — cb' )y ^ de' — cd',

>eut remplacer le système proposé par le système des

ns(i)el(3).

:hons les solutions entières de l'équation (3); d'après

ce qui précède, si elle en admet, elles seront de la forme (182)

dd — ca! ^

dest le plus grand commun diviseur des trois coefficients ac'—ca'y bc'—cb'y dc'—cd'; car, avant de traiter Téquation (3), il faut rendre ses coefficients premiers entre eux dans leur ensemble. 9 est un entier indéterminé, positif ou négatif; a et (3 représentent une première solution.

Pour que l'équation (3) admette des solutions entières, il faut d'ailleurs que les quotients qui multiplient 6 dans les formules précédentes soient premiers entre eux (181).

SI cette condition est remplie, on substituera les valeurs trouvées pour ûc et pour j dans l'équation (i), et elle ne renfermera plus que les deux inconnues z et 0, qu'on pourra, si toute/ois l'équation transformée comporte des solutions entières, exprimer en fonction d'un nouvel entier indéterminé B\ On pourra donc obtenir ^, /, 5, en fonction de 0' seulement.

Si les équations données doivent être résolues en nombres entiers et positifs, il restera à discuter les valeurs obtenues et à chercber les limites de B' (192, 193).

198. Remarque. — Si les coefficients c et c' de l'inconnue z qiCon élimine d* abord sont premiers entre eux, la seule condition de possibilité du problème est que V équation (3) admette des solutions entières.

En effet, reprenons, dans cette hypothèse, les valeurs

f,c'—cb\

X—OL j 9,

^ ad — ca' ^ / = ?-+- 1 ^»

et substituons-les dans l'équation (i). Il vient, en simplifiant, (4) c(a6'— ^a')0 4- ciz — S{d—a<x — b^).

D*autre part, puisque l'équation (3) admet la solution

^iM

X oL^y ^, on a

(ac' — ca')aH-(6c'— c6')p — e/c'

d'où l'on lire

— cd\

Il en résulte que c, supposé premier avec c', doit diviser exactement <f — a a. — 6(3.

Appelons q le quotient de cette division et reportons-nous à réquation (4). En divisant ses deux membres par c, elle

deviendra

{ab'— ba')6-\-dz = Sq.

Dans le cas où c est premier avec c', on obtient donc immédiatement une solution entière de l'équation (4) ou de l'équation (i) transformée en posant 0=zo et z=:q,

La remarque précédente prouve en môme temps qu^on a intérêt à éliminer d'abord l'inconnue z dont les coefficients sont supposés premiers entre eux, puisque la résolution ultérieure de l'équation en ^ et en d est alors immédiate.

Nous allons préciser par un exemple la marche que nous venons d'indiquer.