DU SECOND DEGRÉ

205. C'est Baghet DE Méziruc quia donné, en i6a4> Tanalyse indéterminée du premier degré dans ses Récréations mathématiques. Lagrange a fait connaître, en 1770^ dans un de ses beaux Mémoires, l'analyse indéterminée du second degré. Il a simplifié et généralisé sa méthode dans ses Additions auaéléments d'Algèbre d'ËULER, 1798. La question est une des plus délicates de TAlgèbre. Lagrangb ajoute dans %oii Avertissèment : a A Tégard des équations indéterminées des degrés supérieurs au second, on n*a encore que des méthodes particulières pour les résoudre dans quelques cas, et il est à présumer que, pour ces sortes d'équations, la résolution générale devient impossible passé le second degré, comme elle paraît l'être passé le quatrième pour les équations déterminées (*) »

Nous nous proposons seulement dans ce Chapitre d'indiquer comment on peut résoudre en nombres entiers l'équation du second degré à deux variables x et 7, lorsque le carré de Tune des variables manque dans l'équation.

Premier cas (C = o).

206. Prenons Téquation générale du second degré à deux inconnues et à coefficients entiers, positifs ou négatifs,

A j?' -h Ba?7 -h C/' H- D ^ 4- E V -h F = o,

et supposons qu'on ait C=^o, L'équation deviendra du premier degré en 7, et Ton aura,

(') OEuvres de Lagrange^ édition J.-A. Serret, t. VII, p. 7; Gaulhîer- Villars, m dccc lxxvii.

l86 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

en rendanl d'ailleurs les coefficients premiers entre eux dans leur ensemble, s'ils ne le sont déjà,

(i) (Bo^ -r E)j-h A^»-4-D^.'-+-Fi-o.

On en déduit

— Aa:»--D^ — F

Bj:"hE

et Ton effectue la division indiquée dans le second membre. On trouve pour quotient