BDE-(AE'4-B«F
Il en résulte (2)
A AE - BD BDE — (AE'4-B'F) {^) y-—^^^ —-^^ -H B«(B^4-E) '
ou, en multipliant les deux membres par B' et en posant pour abréger N =: BDE — ( AE« -h B» F ),
(4) B*r^-ABa:^-AE-BD-h ^ ^ ..■
Comme x et y doivent être des nombres entiers, positifs ou négatifs, il faut donc que le quotient
Ba:-+-E
soit lui-même un nombre entier, positif ou négatif, c'est-à-dire
que B j? -h E soit un diviseur de N.
On cherchera, par conséquent, tous les diviseurs du nombre
entier N et, en désignant Tun quelconque d'entre eux par A,
on posera
B^-hEi=±: A,
d'où
Lorsque les valeurs de x fournies par la formule (5) seront entières, il faudra les substituer dans l'équation (4) pour voir si elles correspondent à des valeurs entières de 7.
L'analyse précédente montre que le nombre des solutions entières est toujours limité et qu'il peut n'en exister aucune.
207. Remarque. — Le reste de la division eflfectuée peui ôlre nul.
On a, dans cette hypothèse et d'après les équations (2)
(Bx-hE)(B-7-+-AB^-hBD— AE)=:o.
11 faudra alors poser séparément
B a: -f- E = o, B«7 -4- AB ^ -f- BD — AE mz o ;
et il est évident que, si ces équations admettent une solution entière, il n'y en aura qu'une seule.
Deuxième cas (C = o et B — o).
208. Lorsqu'on a, à la fois, C = o et B = o, la marche qu'on vient d'indiquer doit être modifiée. On a alors simplement
Admettons .qu'il existe une solution entière correspondant
à x~(xei posons
x^(x -hE0,
en désignant par 0 un entier indéterminé. Si nous substituons cette valeur de x dans l'équation (r), il vient, en simplifiant,
(2) j:zz:'^^^'"^.,^^-^-(2AaH-D)9--AE0'.
Par hypothèse, la quantité
— Aâ^-Doc — F E
est un entier. II en résulte que, si a; = a donne une valeur entière de j, a? = a-h E0 en donne nécessairement une nou-
rf.
UT
velle, de sorte que l'équation proposée admet alors une injlnité de solutions entières,
La question est donc ramenée à trouver, s'il est possible, une solution entière.
Or, si oL était connue, comme B peut être positif ou négatif, on pourrait déterminer B de manière que ^=ia-4-E6^ lût
compris entre ^ et — • En d'autres termes, si les solutions
entières existent, il y aura une valeur entière de x, comprise
entre ^ et — > qui donnera une valeur entière de r.
On substituera donc dans l'équation (i) toutes les valeurs
entières de x comprises entre les deux limites et—;
le nombre des essais ne dépassera pas E; et, suivant que ces essais réussiront ou non, l'équation proposée admettra une innnité de solutions entières ou n'en admettra aucune.
Applications.
