Résoudre en nombres entiers V équation
ixf — ^x^-\- y — 1 = 0.
On en déduit
ou
Les diviseurs de 7 sont ± i et dt 7. En les égalant à 2.r -4- i, on trouve les quatre solutions entières suivantes :
11 y a deux solutions positives.
ill. 3** Résoudre en nombres entiers C équation
On en déduit
Nous devrons donc (208) essayer de trouver une solution entière, on
faisant varier x de -h - à , c'est-à-dire en lui donnant les valeurs
entières i, o, — i. Pour x =— i, on trouve j = 2. L'équation proposée
admet donc une infinité de solutions entières, et les valeurs entières
de X sont renfermées dans la formule (208)
où 0 est un entier quelconque, positif, négatif ou nul.
En substituant cette valeur générale de x dans Téqualion donnée, on trouve facilement la valeur générale de Fautre variable
Si Von ne veut admettre que des solutions entières positives, il faut satisfaire aux deux inégalités
— I — 36>o et 96»-+- 80 -H 2 >c). La première exige qu'on ait
et la seconde est satisfaite, quelle que soit la valeur entière donnée à 6,
parce que les racines du trinôme gô^n- 80 -+- 2 égalé à zéro sont imaginaires {Alg, élém.y 252). On obtiendra donc une infinité de solutions entières positives, en donnant à 0 toutes les valeurs entières négatives à partir de — 1 .
212. 4** Déterminer un triangle rectcuigle tel, que ses côtés soient exprimés par des nombres entiers et que son aire soit exprimée par la même nombre que son périmètre.
Les côtés de Tangle droit étant x et y^ et z l'hypoténuse, on doit avoir
En éliminant z entre les équations (i) et (2), il vient évidemment
ou, eu élevant les deux membres au carré,
c'est-à-dire, en simplifiant,
0= —^ ^^f{^r:-hy)-T-ixj\
r et j étant supposés différents de zéro, on peut diviser par xf^ et Ton trouve ainsi
on
On en tire
xy — 4«^ — 4/ -»- 8 = o.
Nous devons donc égaler à x — 4 (206) les diviseurs de 8, qui sont : dti ,
On trouve alors les solutions entières suivantes :
Gomme on doit rejeter les solutions nulles et les solutions négatives, on
n'a à tenir compte que des quatre solutions
Mais, .r étant un côté quelconque de l'angle droit, il n'y a en réalité que ^//.r;c;//ff/Vj/i.r distinctes :
-.•wl
avec avec
L'équation (i) donne, dans la première hypothèse, 3 =: i3, et, dans la seconde. 3 = lo.
fAf.
