PS
\Jm — Wi 7 *
Cn — p«-l
m — n -hJ n
En multipliant ces égalités membre à membre, en supprimant les facteurs communs et en remarquant que CJ, = m, on a, comme précédemment (221),
p„ m {m — i)(/n — 2) (m — 3)...(wî — n-+-i) *""" 1.2 . 3 , 4 • • • ^
Nous allons maintenant démontrer, sur les combinaisons, quelques théorèmes utiles.
226. I. Les nombres de combinaisons dont les exposants sont complémentaires par rapport à l'indice commun sont égaux entre eux.
On dit que deux exposants sont complémentaires quand leur somme reproduit Tindice commun. Il faut, par conséquent, établir la formule
Cn nm—n m — ^/n •
Ce théorème est, pour ainsi dire, évident; car, si Ton choisit, parmi les m objets considérés, une combinaison n à n, les m — n objets qui restent forment, à leur tour, une combinaison m — n à m — n. Les deux nombres de combinaisons sont donc nécessairement identiques.
La formule générale, sous la seconde forme indiquée (223), le prouve aussi immédiatement; car, si Ton y change n en >n — /i, on a
ç^m-a^ ï.2.3.4... (m— 2)(/n — Qm
Et, en comparant l'expression de C^'"'* à celle de C^, on voit qu'elle ne présente pas d'autre changement que celui de Tordre des deux produits 1.3.3.4. • ./i et 1.2.3.4. . . (m — n) au dénominateur.
227. II. Si l'on considère les combinaisons n à n de m ob^ jets, le nombre de celles qui renferment p objets déterminés s'obtient en retranchant p de l'indice m et de l'exposant n.
En effet, mettons à part ces p objets, il en restera m — /?. Si l'on forme alors les combinaisons n-— /?à/i— -/?de ces m-^p objets, et si Ton range à la droite de chacune d'elles les p objets laissés de côté, on a évidemment toutes les combinaisons nk n qui renferment ces/? objets. Leur nombre est donc bien égal à
rn-p
228. III. Si l'on considère les combinaisons n à n de m. objets, le nom,bre de celles qui ne renferm,ent aucun objet choisi parm.i p objets déterminés s'obtient en retranchant p de Vin-dice m.
En effet, si l'on met à part les p objets désignés, il n'en restera plus que m — p, qui entreront seuls dans les combinaisons nh n dont on cherche le nombre. Ce nombre est donc bien égal à
nn
229. Il en résulte que, si l'on considère les combinaisons nànde m objets f le nombre de celles qui ren/erm^ent au moins un objet choisi parmi p objets déterminés est égal à
Cn nn m ^m-p*
230. IV. Le nombre des combinaisons de m objets pris n à n est égal à la somme des nombres de combinaisons de m — I objets pris n — i an — i et n à n.
Cette proposition découle immédiatement des propositions établies aux n*>* 227 et 228, lorsqu'on suppose p = i.
On peut toujours, en effet, partager les combinaisons de m objets pris nk n en deux groupes : l'un composé des combinaisons qui renferment toutes un certain objet déterminé, l'autre composé de celles qui ne renferment pas cet objet.
On a ainsi la formule remarquable
Cn fn—i ;__ pn
231. V. Le nombre des combinaisons de /n objets pris nà n est égal à la sommée des nombres de combinaisons n — i à n — 1, de m — i,m — 2, m — 3, .,,,/i — i objets.
On peut, en effet, appliquer de proche en proche la formule précédente, en décomposant, toujours suivant la même règle, le dernier terme du second membre. On s'arrêtera nécessairement à Tégalité où, dans le premier membre, l'indice toujours décroissant sera devenu égal à Texposant constant (cette dernière égalité se réduit évidemment à Tidentité 1 = 1). On aura donc successivement
Cn prt-l i rn
Cn prt— 1 i r*n
pn — nn-l , nn
Cn — p»-l
£n ajoutant toutes ces relations membre à membre, et en remarquant que le dernier terme du second membre de chaque égalité n'est autre chose que le premier membre de Tégalité suivante, il vient, après simplification.
Arrangements et permutations, avec répétition des objets considérés, supposés toujours distincts.
232. Nous avons supposé jusqu'à présent que les objets ou les lettres considérées ne pouvaient pas être répétées dams les arrangements formés.
En admettant cette répétition, on peut demander quel sera le nombre total des arrangements obtenus.
Ce nombre sera évidemment plus grand que lorsqu'il n'y a pas répétition. Si l'on veut, par exemple, obtenir les arrangements deux à deux des trois lettres a, b, c, il faudra joindre aux arrangements ordinaires
ab, aCj ba, bc, ca, cb,
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 2o3
les nouveaux arrangements
aa, bbf ce.
Nous trouverons le résultat cherché en appliquant le même procédé qu'au n^ 215.
Désignons par (AR)^ le nombre des arrangements avec répétition de m objets pris n\xn.
Supposons qu'on connaisse les arrangements avec répétition de m objets pris n — i à « — i. Pour passer aux arrangements /i à /ty il est évident qu'il suffit d'écrire successivement, après chaque arrangement n — i à n — i, les m lettres données, puisque leur répétition est acceptée.
Tous les arrangements n k n seront obtenus, car ils commencent tous par un certain arrangement n — i à /i — i. Ils seront tous distincts, car ils diffèrent tous par l'arrangement n — I à /i — 1 qui leur a donné naissance ou par leur dernière lettre. On peut donc écrire
(AR);;, = (AR)r*xm.
En faisant dans cette relation n=i2,Sy ^y . ..^ n, en multipliant les égalités correspondantes membre à membre, en simplifiant et en remarquant que (AR)),» == m, on a
(AR);,= m-.
233. Il en résulte immédiatement que le nombre (PR)m des permutations avec répétition est également
(PR)^=m'».
Combinaisons, avec répétition des objets considérés,
supposés toujours distincts.
23&. Nous avons supposé jusqu'à présent que les objets ou les lettres considérées ne pouvaient pas être répétées dans les combinaisons formées.
En admettant cette répétition, on peut demander quel sera le nombre total des combinaisons obtenues.
Ce nombre sera évidemment plus grand que lorsqu'il n'y a pas répétition. Prenons, par exemple, les quatre objets ou les quatre lettres a, b, c, <f, et formons leurs combinaisons trois à trois avec répétition. Nous obtiendrons les combinaisons
204 ÂLGÈBUE SUPÉRIEURE.
ordinaires, plus celles où la même lettre peut entrer deux ou
trois fois. Nous aurons ainsi les quatre combinaisons connues
abCj abdy acd, bcd,
plus seize nouvelles combinaisons
aab, aaCy aad, bba, bbCy bbd, cca, ccby ccd, dda, ddbf ddc^ aaa, bbb, ccc, ddd;
en tout, vingt au lieu de quatre.
235. Pour obtenir la formule générale des combinaisons avec répétition, nous ferons usage du principe suivant.
Désignons par (CR)Î, le nombre des combinaisons avec répétition de m objets pris /i à /i, et supposons formé le Tableau de toutes ces combinaisons.
Nous allons chercher, de deux manières différentes, combien de fois une certaine lettre désignée entre dans ce Tableau, et, en égalant les deux expressions correspondantes, nous aurons la formule cherchée.
Soit a la lettre désignée.
Dans chaque combinaison, il y a n lettres. Le nombre total des lettres du Tableau est donc
/i(CR)"-
mais toutes les lettres entrant identiquement dans le Tableau, il suffit de diviser ce nombre total par m pour avoir le nombre de fois
