CR

que la lettre a entre dans le Tableau. C'est là notre première expression.

Mettons maintenant de côté ou supprimons, m,ais une seule fois, la lettre désignée a dans toutes les combinaisons où elle entre. Les combinaisons ainsi modifiées seront alors les combinaisons avec répétition des m lettres données prises n — i à

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. '2o5

/i — I, el le nombre de ces combinaisons sera représenté par

D'après ce qu'on vient de voir, a entrera encore dans ces combinaisons un nombre de fois marqué par

D'ailleurs a a été supprimé ou mis de côté un nombre de fois égal au nombre des combinaisons résultant de cette suppression, c'est-à-dire marqué précisément par

(CR)r.

! Par conséquent, une seconde expression du nombre de fois

que a entre dans le Tableau des combinaisons est fournie par ! la somme

''-'(CR)r+(CR)r,

et Ton a finalement

c'est-à-dire

^{CR)%= ^ (CR)r*+(CR)s^^

(CR)«^^Lt^(CR)-'.

Si l'on fait successivement dans cette relation n = 2,3,^, ..., n, on a

(CR)J.= ^-fi(CR)i^,

(CR)iJ.= — ■;ti(CR)».,

(CR)»=Î1±^— L(CR)r.

En multipliant toutes ces égalités membre à membre, en supprimant les facteurs communs et en remarquant que

(CR)i, = m,

2o6 ÀL&ÈBRE SUPÉRIEURE.

il vient évidemment, les facteurs du numérateur étant écrits en ordre décroissant,

On voit alors immédiatement (221 ) que le nombre de combinaisons avec répétition de m objets pris /i à n équivaut au nombre de combinaisons sans répétition de m -h n — i objets pris n à /i, d*où (226)

(GR)m — C'^n+n-l — ^

On peut mettre la formule sous une autre forme, en complétant les facteurs du numérateur jusqu'à i, c'est-à-dire en multipliant les deux termes de Texpression par le produit

On a alors (217)

^™^-- nl[m-i)\ '

236. On peut remarquer enfîn que, dans les combinaisons ordinaires dont le nombre est indiqué par C%, Texposant n est nécessairement moindre que Tindice m; tandis que, lorsque la répétition d'une même lettre est permise, rien n'empêche n de surpasser m.

Par exemple, les combinaisons avec répétition des trois lettres a, 6, c, prises quatre à quatre, seront

aabc, aabb, aacc, bbac, bbcc. ccab, aaaby aaaCy bbba, bbbc, ccca, cccb,

aaaa, bbbb, cccc.

Permutations, lorsque les objets considérés se partagent

en groupes d'objets identiques.

237. Nous admettrons maintenant que, parmi les m objets ou les m lettres données, il y en ait un certain nombre « qui deviennent toutes a, un certain nombre j3 qui deviennent toutes b, un certain nombre y qui deviennent toutes c, etc.

On peut demander quel est le nombre des arrangements.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 20^

OU des permutations, ou des combinaisons distinctes formées avec les m objets ou les m lettres ainsi modifiées.

Avec la répétition permise des objets considérés supposés différents, nous venons de trouver des résultats plus grands que ceux qu'on obtient sans répétition. Avec la modification indiquée, nous devrons avoir, au contraire, des résultats plus faibles.

Et, en effet, des arrangements, ou des permutations, ou des combinaisons, qui resteraient différentes si les objets proposés demeuraient distincts, se confondront lorsque ces objets deviendront en partie identiques.

Prenons, par exemple, les arrangements deux à deux des trois lettres a, b, c, qui sont

aby aCy bUy bc, ca, cb.

Si Ton suppose que b soit identique à a, ces six arrangements

deviennent

aa, aCf aa^ ac, ca^ ca

et se réduisent à trois différents

attf aCy ca.

On a de même, pour les permutations de ces trois lettres

abCj acb, cabj bac^ bca, cba.

Quand on suppose b identique à a, ces permutations se transforment en

aaCy aca, caa^ aac, aca, caa

et se réduisent à trois

aaCf aca, caa.

Leur nombre était Pj^n . 2 . 3 ; il devient

S'il s'agit des combinaisons des cinq lettres a, by c, d, e, prises trois à trois (220), qui sont

abc, abd, abe, acd, ace, ode,

bcdj bce, bde,

cde.

2o8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

elles deviennent, pour bz= a,

aaCf aad, aae^ acdy ace^ ade,

acdy ace, ade^

cde

et se réduisent à sept au lieu de dix.