I P' - B'H' “ B' IP

J 44 CÉQMÉTBIE. , . ^ ;

• Mesurer un volume, t ’esl chercher son ra^tport à runilé de ,

volume. .On prend toujours pour unité de volume le c«/>e construit sur l’unité de longueur. Si P' devient le mètre cube,

B' deviendra le mètre carre et li' le piètre. On aura, par con- . scquenl :

. I Mc , Mq • , M ■ . • •

^ représente la mesure du vqluine du parallélipipede rec-

langleP, -5^ représente la mesure du rectangle qui lui sert de

base (137) Cl, -pj représente (a mesure de sa hauteur. On voit'

donc que le même nombre abstrait représente la mesure dii i

volume du parallélipipède et le produit des mesures dè sa base ’ et de sa hauteur. C’est ce qu’on exprime plus rapidement, en employant la locution inexacte ; Tout parallélipipède rectangle a pour mesure te produit de sa base par sa hauteur.

Si l’on avait désigné par a, h, c les dimensions'du paralléli- . pipède P et par a', b', c' celles du parallélipipede P', on aurait pu écrire

. P a.h.c abc

P' devenant le mètre cube, on aurait eu

c’est-à-dire -■ . •

' ■ . P abc

' , jltc ~ ■ 7s ■ 7“"

On aurait d’onc pu énoncer les résultats précédents en disant : Deux paralléli pip^des rectangles quelconques sont proportion- ■ nets aux produits de leurs trois dimensions ; Toiil parallélipi- ' pède rectangle a pour mesure le produit de ses trois dimensions.

• Mais cetté tonne n'est applicable (pi’aiix parallélipipèdes rectangles, tandis que celle que nous avons ado[itée est applicable. comme nous allons le voir, à tous les prismes.

Le volnipe (T un c/fèe ci/, d’api ès ce que nous venons de dire, • égal à la troisiènie puissance de son arête. On comprend main-' tenant laisynonymie des mots cube et troisième puissance employés', en arilhitiéiique.

210. Pour passer au volume d'un parallélipipede droit et ensuite à celui d'un parallélipipède oblique, nous nous appuierons sur le lliéorèine suivant.

Tout prisme oblique est éqiucalent au prifine'droit qui a

GÉOMÉTRIfe. 145

pour hase la section droite du prisme oblique et pour hauteur r une de ses arêtes latérales 20?. ) .

Soit le prisme oliliqiie AK qui a pour hases les pnlvftones ABCDE, F4jliKI>. Meiiüiis, par li*s e\lrémil»is fie l’arèle AF, les seei ion s droites All'^D'E', F'(î' II' k' I.'. Dans le cas de la ligure, ces sections sont inférieures aux hases correspondantes, de sorte ipi'il faut prolonger les arêtes latérales du prisme jusqu’à la renconlrti, de la section menée par le sommet A. I.e volume compris entre les deux sections parallèles AII'F'D'K', FIj'll'K'E', ■forme évidemment le prisme droit AK'; et ce prisme a pour base la section droite du prisme oblique et, pour hauteur, son arête latérale AF.

Le prisme oblifjue AK et le prisme droit \K' ont une (lartie commune : celte partie commune est le volume compris entre la hase infé- ^ rieure AB(J)E du prisme oblifpie et la base

supérieure FG' H' K' L' du prisme droit. Four prouver l'cfiuivalence des deux prismes, il suffit donc de prouver l'égalité du polyèdre inférieur AB' G' D' E' BGDE et du polyèdre supérieur FG' II' K' L'GHKI.. Portons le premier polyèdre sur le second, de manière que les sections égales (200) AB'C' l)'Fy,FG'H' K'L', coïncident. Les arêtes B' B cl G' fi, alors perpendiculaires au même plan, se confondront en direction. Ces arêtes sont d'ailleurs égales, car les arêtes du prisme oblique étant égales à celles du prisme droit à cause de l’arête commune AF, on a

B(i = B'G', d’où BB' = GG'.

Le sommet B coïncidera donc avec le sommet (i. De même',” les antres sommets C et II, I) cl K, etc., se confondront, et les deux polyèdres coïncidant, seront égaux.

211. Un parallélipipède quelconque a pour mesure de son volume le produit de sa hase par sa hauteur.

f'.onsidcrons d’abord un parallélipipède droit (Jig. 2o3). Soit ABCD la base de ce parallélipipède, soit AK ta hauteur.

Nous pourrons regarder ABFE comme la base de ce parallélipipède (202), dont les arêtes latérales seront alors parallèles à AI). ' Alenons par l’arête AE, perpendiculaire à Al), la section droite AKLE. Celle section, qui, en général, est un parallélogramme (202), sera ici un rectangle, puisque AE est perpendiculaire au plan .ABCD. Le |>arallélipipède considéré est donc équivalent au pa-

Fig. qo3.

GÛOMÈTIUE.

ralléli|)i|>tHle n'Clungle (|iii a pour base le lï'rtaiij'lc AKI.E el pour bailleur l'arèle, \l) (’ilO). Mais ee parallelipipède a pour mesure, le produit de sa base pur sa haulour (‘iO!)), e’esl-à-diie

AEXAKXAI);

telle sera doue aussi la mesure du parallelipipède droit proposé. AE reiirésenle sa hauteur, AK X .\l> est la mesure du parallélogramme AB(M) qui lui sert de base. Tout paidUélipipt’Je droit a doue aussi pour mesure de son t'oliime le produit de sa hase, ptir sa liautem'.

Sujiposous maiiiieuaiii un pandlidipipf’de ohliepie loin ii l'ail queleoiique [Jig- ?o4). Soient AlUd) la base de ec parallélipi-

pède el AE son arête latérale. Ou • prendra la face AEIIl) pour base de ee parallélipipède, et scs arêtes latérales seront alors dirigées suiNanl EF. Mi'nous par le point E la section droite EK LM. Cette section sera nu parallélogramme, EK étant perpendiculaire à l'arête AB sans l’être au plan AB(;i). Le parallélipipède considéré sera donc é(|uivalenl au parallélipilièdc droit dont la base est EKLM et dont la hauteur est AB (210). Mais ce parallélipipède, d’après ce qu’on vient de dire, a pour mesure le iiroduit de sa base par sa hauteur; ee qui revient à