II. — Surface et volume du prisme
' 205. La surface, latérale d'un prisme droit a \ »»•
produit du périmètre de sa base par sa hauteur
En effet , g eue surface latérale * est la ^ ' • •■■g '«y- somme des rectangles ABFE, BCGF, etc.;
' Di-
ces rectangles ont pour hauteur commune* la hauteur du prisme, et leurs bases sont les côtés AB, BC; etc., de la base du prisme. La somme de tous ces rectangles aura donc pour expression (AB 4- BC 4- • • .). AE ou I*. Il, eti désignant par I* le périmètre de la base du prisme et par 11 sa hauteur.
1^2 GÉOMÉTRIE. ‘ '
S’il s’a|{il d’mi prÎMiio oblique aoib), sa surface latéicUe sera égaie aa produit du périmètre de sa section droite par' l’une de ses arêtes latérales. En effet < les eôlés (le la section droite LMNOP sont les hauteurs desdirrérentsparallélogrammesqui constituénl la surface latérale du prisme, et ces parallélograniiites ont des bases éga’les puisque foules les ar(';l(îs latérales d’un prisme Sont égales.
I.a somnte de tous éés parallélogrammes aura donc pour expression (I.M M\ AF
ou P . A, en désignant par p le périmètre de la section droite du .prisme et par A son ariUe latérale.
20(j. Nous ramèncÉons la mesure du volume d’un prisme • quelconque-à celle du volume d’un parallélipipc'de.eila mesure du volunm d’un parallèlipipfule (|uelconque à celle du volume d’un parallélipipèdc recuingle.
Pour obtenir l’e\pr(*,ssion du volume d’un paralléHpipqde rectangle, nous cliercherons (juelle inlluence la variation de la hauteur ou la variation de la base a sur celle du volume.
207. Deux parallélipipèdes rectangles qui ont même hase ont des volumes proportionnels d leurs hauteurs [fig. 201).
Soient les deux parallélipipèdes nîctangles Atl et IP, dont les bases AH(M), IKI.M sont (‘gales. Supposons une commune , . mesure \ a= 1/ entre les
Fi{j. ^oi .
deux hauteurs ,\E, 1^, et admettons que cette commune mesure soit contenue 5 (ois dans .\E et 7 fois dans ^ IN , de sorte qu’on aura AF. 5
— Par tous les points 1^7
do division des hauteurs, ^ ^ luenonsdans lesdeuxparal-
IfllpifièdeS’des plans parallèles aux bases. Nous délnrminerous ainsi, dansie parallélipîpède AG cinq parallélipipèdes rectangles partiels, et dans 1& parallélipiptsle IP sept parallélipipèdes rectangles partiels; ces parallélipipèdes partiels seront tous égaux entre eux. comme prismes droits ayant, même base et même hauteur (201 ). de sorte que l'un d’eux pourra .servir de corn-: mune mésure entre les deux parallélipipèdes .\G ël IN et qu’on
aura aus.si -. Les volumes de ces deux paralléüpi-
par. IN 7
pèdes seront donc bien proportionnels a leurs hauteurs.
. •.céOMÉTBIE. w l4ii ‘
' Si les deux liaiiliinirs AH, IN, étaient inroinnioiisiiraliles, on emploierait le raisoniieinent connu (03 j.
208. Deux parallf-lipipèifes rectangles (/ai ont na^nie iiaateai; ont drs volumes proportionnels à leurs bases.
Soient I’ pt I*' les dçu\ i)arallélipipèdes considérés. Désignons' par a leur hauteur comiminc, par b et c les (limensions de la s base B du parallélipipèdo 1’, par />' et c' les dimensions de la base B' du parallélipipède P'. Prenons ui> troisième parallélipipède rectangle P" dont les 'dimensions (190) soient n, //, c.
Comparons les' parallélipipèdes P et P". On peut prendre po'iir base d’im parallélipipède rune (jnclconq^ue de ses facei (202); si l’on prend pour bases' des parallélipipèdes consi- ' •'décès les faces qui, dans ces parallélipipèdes, ont pour dimen- ' sions a etc, on pourra dire que ces deux parallélipipèdes ont ' n^éniç ba'se et qu'ils sont proportionnels à leurs hauteurs, è et b’’. On aura donc ('207) : , . •
•Coinparons les parallélipipèdes P" et P', et prenons pour . bases de ces parallélipij)èdes les faces (pii ont pour dimensions a et b'. Ces deux parallélipi[)èdcs ayant alors même liase, seront proportionnels à leurs hauteurs c et c'. On aura donc . ‘ •
Multiplions membre à membre les deux égalités obtenues.
Il viendfa . ' .
PP" ■ bc P èc B .
P" P' “ b'c' P’ ~ b' c' “ IV ' .
On énonce encore le théorème qu’on vient de démontrer, en disant que deux parallélipipi^des rectangles qui ont une dimension commune , sont projiortionnels aux produits de leurs deux autres (limensions. • , *
209. Le volume d'un parallélipi/tède rectangle a^pour mesure le produit des mesures de sa b((sc et de sa lu$ul^ur. ’■ •
Soient deux parallélipipèdes rectangles P et P' ; désignons leurs bases par B et B', leurs hauteurs par II ’éi U'.'ïa^g volumes de ces parallélipipèdes étant proportionnel^!^ ld|u|s hauteurs et proportionnels h leurs bases, seront aussi i>rS^)rtionnels aux pn,i(luits des bases parles hauteurs [dlg. él^(., 38).
On aura donc immédiatement
’ P BII B H • .. . ■
