Le plan mené par deux aiètes opposées d’un parai- I
lélipipéde le. divise en lieux prismes triangulaires équiva- > (
lents.
Fig. 20(.
(‘) Ce llicorrmc a él<l domonlrc/ pour ta prpiniiSrc fois, cto roltr maniiVc, par M. A. Amiot. Foii ses excellentes torons noorW/er de Gromr'eïr, i85o.
Ogic
GÉOMéTniK.
Soil If» ])nr:illéli|ii|«‘i!i< A(i ?.n5'. Je ntcne un plan par
les arèlcs opposées VH, CG. Os arèles (‘tant éf,’a!<*s el parallèles. la ligure .VEGC sera un paralU*logr.ainme. Les ,<Jenx triangles AUC.
EFG, ont leni's eôi(‘s égaux et paialleles, el il en est de inènie des triangles ACD, EGU. Les deux pol\èdres AiJCEFG, ACDEGH, seront doue des prismes triangulaires (I!)!)), et res, prismes auront des bases égales comme moitiés d’un même parallélogramme, el leur hauteur comntune sera celle du parallélipipède AG. Il faut prouver réf|uivalence des deux prismes : elle est évidente si le parallélipipède proposé est droit, puisque doux prismes droits qui oOl des hases égales et des hauteurs égales sont égaux (“201 ).
Si le parallélipipèilt^ .AG est oblique, je mène .sa s(?ciion droite kl. MO. Cette section droite est partagée parle plan diagonal VEGC en deux triangles égaux K.ML, KMO, qui sont les sections droites des deux prismes triangulaires, l.e prisme triangulaire VIKiEFG est équivaletil au prisme droit qui a pour base KML et pour hauteur AK (210} ; le prisme triangulaire ACDEGH est équivalent au prisme droit (|iii a pour base KMO cl pour hauteur AE. l'uisqu’on a IxML = K VIO, les ileux prismes droits sont égaux; les prismes triangulaires obliques qui leur sont respectivement é(|uivalents seront donc étpiixalenls entre eux, de sorte (|ue ehacnn d'eux sent la moitié du l)arallclipipède AG.
2111. Le volume, d'un prisme quelconque u pour mesure le produit de sa base pur sa hauteur.
Soit d’abord (/»g'. ao5) le prisme triangulaire ABCEITi. Par l’arcle AE,jc mène un plan parallèle au plan BCGI'; par l’arête CG, un plan parallèle au jdan ABFE; je prolonge les deux bases du prisme, el j’achève ainsi le parallélipi|)ède VG, double du prisme ABCEFG (212). Ce paraliélipipètle a pour mesure sa base .VBCD ou ? ABC, multipliée par sa hauteur HB. Le prisme triangulaire .VBCEFG aura donc pour mesure la moitié de ce produit, c’est-à-dire le |iroduil de sa base ABC par sa hauteur MB.
Soil maintenant un prisme polygonal ({uelcntn|ue Al [Ji}'- eoG). Je le décompose en prismes triangulaires, en menant des plans diagonaux par l’arèle AF et les arèles CH el DI qui ne sont pas situées dans un même plan. C(*s
CÉOMÉT r.lK.
prismes Irimigiilitires oui la même hauteur (|ue le prisme poly- ;^oiial , el leurs hases soûl les triangles AUC, ACl), \I)K, que les plans iliaf'OnauN (létermiueiil dans sa hase ABl’.DE. Si l’oii désigne par 11 la hauteur du |)i'ismc i)roprisé, ou aura d’après ce qui précède :
pr. ABC = ABC X H , ^
pr. ACI)= VCDxH, pr.AI)i:=\l>Exll.
l,e volume du prisme Al aura doue pour evprtïssioii ( ABC -h ACI» -+- ADE) x 11 = B. II.
eu désignanl par B le polygone ABCDE, hase du prisme Al.
En désignanl par I* el B' d('u\ jirismes (juelconqucs, par B el B' h'urs bases, par 11 et 11' leurs hauteurs, on aura 1* — Bll, I*' = B' ir. On voit doue que /cj votiinus île deux prismes quelconques sont proportionnels aux produits de leurs buses par leurs hauteurs ; {\\\edeux prismes qui ont des bases équiealentes sont proportionnels à leurs hauteurs ; que deux prismes qui ont même hauteur sont proportionnels ti leurs bases.
