III. — Surface et volume du cône
2^7. Si le triangle rectangle SAC [,/i{f. 21S) tourne autour do Tii; îiH. l’un des côtés de l’angle droit SC commeaxe.
il engendrera un cône droit à base circulaire. Le côté C.A décrira, dans un plan perpendiculaire à l’axe S(i (1Ü9), un cercle qui sera la base du cône et dont le centre sera sur l’axe. L’hypoténuse S.V engendrera une suffacc courbe (jui sera la surface latérale ou convereôyy cône droit. L’axe S(i représentera la hauteur du cône, et le point S en sera le sommet.
GÉOMÉ I ISIK.
Ijii puinl (|iielfom|ue V de lu druite SA d<''ci il une rircoiiU'leiu’O de cereU* dniit le nenire est sur l'uxo et doiil le |duii est |ierpeiidiciiluire à l’axe; ear si l'on abaisse; du poiiil A' la perpeiidieulaire A'C' sur l'axe SC, relie droilo conservera la inènie ionj;ueur pendanl le nionvemenl du Irianplc (|ui engendre le cùnc, cl resiera loujours perpendiculaire à l’axe. En d’autres lerines, lotit jthtn pt^rpeitiUculairt^ à l’axe du cône le coupe snivanl un cercle.
Si l’on suppose une droiii' SA a.slreinle à |)asser loujours par le inèine point S de l’espace, tandis ((uc son extrémité A d<>cril la circonférence ADH, on aura un cône oblique à buse circuluire ?tc)', si la
droite SC est obliijnc. au plan de la circonférence \1)|{, dont le centre est (]. la; cereb; ADH est la base du cône, S en est le sommel la perpendiculaire S(.>, abaissée tin sommet sur la base, en est la huiileur.
Les sections faites dans un cône obli-, (]ue par di's plans parallèles à la base sont des sections circulairt's. En effet, tout plan passant par SC cou|iera la base et la section suivant des droites parallèles CA, C! A', la surface du cône suivant S V. Les
triangles SCA, SC'.A' étant semblables, le rapport sera
SC
égal au rapport constant et comme CA est constant, C' V'
sera aussi constant. La section, sera donc une circonférence dont le centre sera sur SC, axe du cône oblique.
A un point de vue plus général, on appelle surface conique. toute surface engcndn'e par une droite astreinte à passer constamment par le même point de l’espace en s’appuvanl sur une courbe quelconque qui est la directrice de la surface, tandis (|iie la droite mobile en est la génératrice. Le point par lequel passe constamment la génératrice est le sommel ou Iç centre de la surface conique : il la divise en deux nappes. Lorsqu’on coupe une pareille surface par un plan (pii rencontre toutes les génératrices d’une même nappe, b* volume conipris entre le centre de la surface, la surface elle-même et le plan sécant, s’app(‘lle un cône. Le plan sécant en délcrnrine la base, et la hauteur Au cône est la per|iendiculaire abaissée du centre on du sommel sur la base. On suppose, dans ce cas, que la directrice est une courbe fermée.
228. f.a surface convexe d’un cône droit t't base circulaire, a pour mesure la moitié du produit de la circon férence de base du cône par Son côté.
On appelle côté ou g('uératrice d’un cône droit à base
GÉOMÉTRIE
rirr.ulaire, rhjpou'niise du Iriansli; rectangle générateur.
Art surface totale (['wne pyramide ou d’un cône se compose de sa surface latérale augmentée de la surface de sa base.
Inscrivons dans le cône |troposé une pyramide régulière, en inscrivant dans sa base 0\ \Ji{'. 210) un polygone régulier et en joignant les sommets de ce polygone au sommet du cône.
s A mesure iju’on doublera indéfiniment
le nombre des côtés du polygone régulier inscrit, son périmètre s’appmehera autant qu'on voudra de la circonférence 0.\, ijui sera sa limite (132). La hauteur des pyramides régulières correspondantes restera toujours égale à la hauteur du cône. La surface totale du cône est évidemment plus grande que la surface totale d’une pyramide régulière inscrite, et elle en est la limite puisque la base du cône est la limite des aires des polygones réguliers inscrits successivement obtenus. On peut donc dire aussi ipie la surface latérale du cône est la limite de la surface latérale des pyramides régulières successivement construites.
I.a surface latérale d’une pyramide régulière a toujours pour expression la moitié du produit du |)érinièlre de la base de la pyramide par son apotlième (222). La limite d’un produit étant égale au produit des limites de ses facteurs (l'.12), on pourra dire que la surface convexe du cône, limite des surfaces latérales des pyramides régulières qui y sont inscrites, est égale à la moitié du produit de la circonférence de hase du cône, limite des périmètres des bases des pyramides régulières, par le côté du cône, limite des apothèmes des pyramides.
Le côté du cône est la limite des apothèmes des pyramides, parce que l’apothème O g de la base de la pyramide régulière inscrite a pour limite le rayon ()(« de la base du cône.
Si l’on désigne par U le rayon de la base du cône et par G son côté, l’expression de la surface latérale du cône circulaire droit sera
-ajiH.C ou xrKt].
Sa surface totale sera représentée par
rllG-t-jrlf ou K U (G + 11).
229.. Le volume d'un cône quelconque a pour mesure le tiers du produit de sa buse par sa hauteur.
D’après ce qu’on vient de voir, le volume de ce cône sera la limite des volumes des pyramides régulières ou non, qu’on y
GÉOMÉTRIE
inscrira en doublant indéfininienl le nombre de leurs faces. (Chacune de ces pyramides aura pour mesure de son volume le tiers du produit de sa base par sa hauteur, qui sera aussi celle du cône (228). Le volume du cône aura donc pour expression le tiers du produit de sa hauteur par la surface de sa base, limite. des bases des pyramides inscrites.
S’il s’agit d’un cône circulaire droit ayant R pour rayon de
sa base et II pour hauteur, son volume sera C4;al à ^ r R’ II.
Tout cône est le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. Deux cônes quelconques sont proportionnels' aux produits de leurs bases par leurs hauteurs. Deux cônes qui ont même base, sont proportionnels à leurs hauteurs; deux cônes qui ont même hauteur, sont proportionnels à leurs hases.
230. Deux cônes circulaires droits sont semblables, lorsqu’ils sont engendrés par des triangles rectangles semblables. Leurs
. surfaces convexes ou totales sont proportionnelles aux carrés des rayons de. leurs bases ou aux t'arrés de leuis hauteurs i leurs volumes sont proportionnels aux cubes des mêmes éléments (même démonsiraiiou qu’au n“ 217).
IT. — Développement d’on cylindre ou d'un cône circulaire droit.
231. On peut trouver l’expression de la surface latérale d’un
cylindre ou d’un cône circulaire droit d’une autre manière qu’il est bon de connaître. > . *
Soit le cylindre AR. Considérons sur sa surface des génératrices ab, ’ed, ef, gh, etc., assc7, rapprochées pour qq.’on
puisse regarder ccunme planes les portions de surface qu’elles comprennent [fig. 221 ). On pourra faire tourner le plan abdc autour de cd, de manière a l’amener dans le prolongement du plan edfe. On pourra faire tourner les deux plans réunis autour de ef, de manière à les amener ensemble dans le prolongement du plan efhg; et ainsi de suite. On conçoit donc qu’on pourra étendre ou développer toute la surface latérale du cylindre sur un même plan sans déchirure ni duplicature. On obtiendra comme dévelôppement un rectangle, car les éléments ac, ce, eg, etc., de la circonférence OA se placeront en ligne droite, et lés génératrices du cyWnôrc, perpendiculaires à II. Il
Fif». 9ai.
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res /‘léments, seront por|)endiculaires à la, droite obtenue. I)e sorte iiu’en fondant le c^^ndre AB suivant la génératrice AB, et en étendant sa surlacé sur un plan, cette surface deviendra un rectangle ABDi;, dont la base A(; représentera la circonférence OA rectifiée, et dont la hauteur AB sera celle du cvlindn».
Soit le cône SA. Considérons sur sa surface des génératrices S(7, SA, Sc, Sf/, etc., assez rapprochées pour qu’on puisse repjj, ’ garder comme planesles portions de surface qu’elles comprennent {fi}^. î.aît). On pourra faire tourner le plan aSô autour de Sô, de maïuère à l'amener dans le prolongement du plan ôSc. On pourra faire tourner les deux plans réunis autour de Sc, de manière <à les amener ensemble dans le prolongement du plan cSr/ ; et ainsi de suite. On conçoit donc qu’onpourra étendre ou développer toute la surface latérale du cône sur un .même plan, sans déchirure ni duplicature. On obtiendra comme développement un secteur eirrulaire, car tous les points de la circonférence OA resteront, dans le développement, à égale distance du sommet S; c’est-à-dire que cette circonférence se développant suivant un arc de cercle tel (jue AC, la surface du cône se développera suivant le secteur ASC qui a pour mesure la moitié du produit de l'arc qui lui sert de base par son rayon (14o).
Toute section déterminée sur la surface conique par un plan parallèle à sa base se développera évidemment de la même ma^tière suivant un arc de cercle ayant pour centre le point S et pour rayon la portion de génératrice intérceptée entre le sommet du cône et le plan sécant : cet arc sera d'ailleurs limité aux rayons qui limitent le secteur ASC.
Il est facile de calculer le nombre de degrés de l’arc AC qui représente le développement de la circonférence OA. En dé-
, n AC •
signant ce nombre rie degrés par /», on aura -r-r- - —
