I.KS CORPS TRONQI KS

232. Si l’on roupe une pyramide par un plan qui rencontre toutes ses faceS latérales, le corps compris entre la base de la pyramide et le plan sécant s’appelle pyramide tronquée oif tronc de pyramide.

Supposons une pyramide régulière coupée par un plan parallèle à sa base, et cherchons l’expression de la surface du tronc de pyramide obtenu [Jig;

Fig. jî3.

■\BGDE et rticrfe seront les deux bases du tronc, sa hauteur sera leur distance.

F.a section abcde, semblable à la base ABCDE (219), sera comme elle un polygone régtilier. Les faces latérales de la pyramide régulière SABCDE étant des triangles isocèles égaux, les faces latérales du tronc de pyramide régulier seront des trapèzes isocèles égaux (47). La hauteur de tous ces trapèzes sera égale à la partie HA de l’apothème SH de la pyramide régulière (222),

interceptée par les deux bases du tronc

La face AE ea aura pour mesure de sa surface H A ;

si la base du tronc a n côtés, sa surface latérale sera égale à n fois celle du trapèze AEca, c’est-à-dire à maisn.AE cxn.ae représentent les périmètres P et p des deux bases du tronc, et l’expression cherchée deviendra — ^^-HA.

Par conséquent, la surface latérale if un tronc de pyramide régulier est égale à la demi-somme des périmètres des deux bases, multipliée par la droite qui joint les milieux de deux côtés homologues des deux bases. On pourrait appeler cette droite /’rty»o/Aéwie du tronc de pyramide régulier.

233. Cherchons maintenant le volume d’un tronc de pyramide quelconque, A bases pappllèles, et considérons d’abord un tronc de pyramide triangulaire.

' Ln tronc de pyramide à bases parallèles équivaut à la somme de. trois pyramides ayant pour hauteur commune ta hauteur ~

f;fo.MÉr» iK.

du tronc et, pour buses respectives, lu base inférieure du tronc, sa base supérieure, la moyenne proportionnelle entre scs deux bases [Jig- 224 ).

Soit le tronr dft pynimide trhm^ulairr à bases parallèles AlbiDEF. Je fais passer mi plan par l<*s trois soininclS A, E, C; Je (bytaehe ainsi du tronc la pyramide triangiilain* EAISE, r|iii a pour base la base inférieure du tronc et pour hauteur la hauteur du tronc, puisque son soininet E appartient à sa base supérieure.

Il reste la pyramide quadrangulatre EACFD. Je la décompose en deux jjvrainides triangulaires, en menant le plan DEC. I.a pyramide EDCF, (pii a pour sommet le point E et pour base DCF, peut être regardée comme ayant pour base DEF, c'est-à-dire la base supérieure du tronc, et pour banteur la hauteur du tronc, puisijue son sommet C appartient alors à la base inférieure du tronc.

La seconde pyramide triangulaire EDAC, a pour sommet le point E et pour base DU!. Menons’la parallèle EG à DA : EG sera dans le plan DAH et coupera \B au point G, I.a pyramidi^' EDAC sera éipiivalente à la pyramide GDA(^ Ces deux pyramides auront en effet la même base D \C. ; elles auront aussi la même bauteur, car EG étant parallèle à DA, sera parallèle à la base D\(] (1G7, 223). Mais la pyramide (îDAC peut être regardée comme ayant pour sommet le point D et pour base AGC; elle a donc pour bauteur la bauteur du tronc, et il reste à prouver cpie le triangle AGC est la moyenne proportionnelle des deux bases du tronc.

Alenons (îll parallèle à BC ou à EF : les deux triangles AGIl, DEF, seront égaux comme ayant un cêilé égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun : les angles sont égaux par suite du parallélisme de leurs ci'ités et, dans le parallélogramme ADEG, on a