AG = DE

(^eci posé, comparons les triangles ABC et AGC. Ils ont même sommet C, et leurs bases AB, AG, sont en ligne droite : ils ont donc même hauteur et sont proportionnels à leurs bases. Oh peut donc écrire

ABC AB • AtiC “,AG ■

Comparons de môuie les triangles A(«C et AGIl. Ils ont même sommet (i, et leurs bases AC, Ail, sont en ligne droite : ils ont doiiomême hauteur et sont proportionnels à leurs bases.

Fie- ij.’i.

céoMÉTsir..

On peut donc écrire

AGC

\GiI

AC

AU

• Mais la parallèle GU à BC perinét de poser •

AB

■ . AG — AII.j

On aura, par suite, en remplaçant AGU par son, égal DEF,

ABC AGC AGC “ DEV

Étendons le théorème au cas d’un Irunc de pyramide à hases parallèles quelconque [fig- aaS).

Soit le tronc polygonal GUIKLMM*, obtenu en coupant la pyramide TGHIK. par un plan parallèle à sa base. Je construis, JJ. dans le plan de la base GUIK,

” ■ un triafiglc ABt; qui lui soif

équivalent (141); et, sur la base ABC, j’élève une pyramide triangulaire SABC ayant mêmehauteur que la pyramide polygonale. I.es deux pyramides SABC, TGHIK, seront équivalentes, puisqu’elles auront la même mesure (2-i3). Si l'on prolonge 'alors le plan* de la section LMNP, ce plan viendra déterminer dans la pyramide . S VBC une section DEF équiva-

lenle à la section LMNP (220) ; de sorte que les deux pyramides TLMNP et SDEF seront aussi équivalentes. Le tronc polygonal GlllKLMN’P, différence des deux pyramides TGHIK et TLMNP, sera donc équivalentau tronc de pyramide triangu- ■ laire AÉCDEF, différence des deux pyramides SABC et SDEF.

. Et comme le tronc de pyramide triangulaire est équivalent à la somme de trbis pyramides qui ont pour hauteur commune la hauteur du tronc et pour bases respectives sa base supérieure, sa base inférieure, la moyenne proportjunnelle de ses deux bases, il en sera de même du troué do pyra^dc polygonal.

Désignons par B la base inférieure d’un icèllé fle'pyramide à bases parallèles quelconque, par b sa-'.btem^suÿérieure, par h sa hauteur; son volume V seraaigal Jida somme

- B /i -t- - è/i -4- - VBT» . /n - w

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GÉOMÉTRIE

On aura donc la formule

= I -H + v'Bî) .

On peut lui donner une autre forme et éviter l’extraction de la , racine carrée.

Les deux bases B et Arianl semblables, désignons par A et « deux côtés homologues de,çes bases. On aura (148)

Fiç. 2t6.

Si l’on remplace b par- cette valeur, la formule devient

^d’où, en simplifiant et en ordonnant,

Bh f a a' \ ■ . .

' = -3 (■+Â+ïï)- , ■ •

234. Lorsqu’on coupe un cône circulaire droit par Un plan parallèle à sa base, le corps compris entre la base du cône et . la section obtenue est un tronc de cône circulaire drüit à bases parallèles.

Les cercles OA et IC {Jig. 226) sont les bases du tronc, 01 en 'est la hauteur, AC est son apothème ou son côté. On voit que le tronc, de cône considéré peut être regardé comme engendré par le trapèze rectangle AOlC, tournant autour du côté 01 perpendiculaire aux deux bases. .OA et IC engendrent les deux bases du tronc, AC engendre sa surf({ce latérale ou convexe.

Si l’on inscrit une pyramide régulière dans le cône SOA (228), on inscrira en même temps un tronc de pyramide régulier dans le tronc de cône AOIC. Et de même que la surface totale du cône est. la limite dè la surlace toUÎIc djç la pyrainide inscrite, la surface totale dir tronc de fône'^sera la limite de la surface totale du tronc de pyramidà inscrit^ puisque les deux bases de ce dernier corps ont pour lintiti^j^especiives et simultanées les deux bases du tronc de cône. Il en résulte que la surface latérale du tronc de c^o est in limite de la surface latérale du tronc de pyramide ii'scrU| .ji mesure qu’on double' indéfiniment le nombre de sè»raices; et comme cette surface est égale à la «lemi-soiumc des périmclrcs des bases du tronc de pyramide

r.ÉOMF.TniE. 167

multipliée par son apothème ('23*2), la surface du tronc de cône aura pour expression ta demi-somme des circonférences de ses bases, limites des périmètres des hases du tronc de pymmide, multipliée par l'apothème ou le côté du tronc de cône, limite de l’ apothème du tronc de pyramide (125).

Soient R cl r les rayons des bases du tronc de cône circulaire droit proposé et L son côté ; sa surface latérale sera égale à

27tR -I- 27T/'

■ L ou à re { R -f- /■) . L.

Celte surface est susceptible d’autres expressions importantes à connaître. ‘ /•'

Soit 227) le trapèze rectangle AOIC qui engendre le tronc de cône; menons par le point Ë, milieu de AC.uneparallèleaux deux bases du trapèze ; celle parallèle El» sera égale à la demisomme des deux bases OA, IC (140)-. Par«uile, la circonférence* de la section menée dans je tronc de cône à égale' distance des deux bases est la moyenne arithmétique des circonférences de ces deux bases. On aura donc

cire E(i.= 7i-[R 4- r),

et l’on pourra dire que la surface latérale du tronc de cône est égale à son côté multiplié par la circonférence de la section menée à égale distance des deux bases.

Ceci posé, considérons toujours le trapèze générateur AOIC {fg. 2^7), et élevons au point E, milieu de AC, la per- , pendiculaire EM au côté AC; abaissons du \u point C la perpendiculaire CK sur .40. F-es deux triangles formés EMC et Al'.K seront semblables, comme ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun. On aura donc

EC CK , cire EG CK

■ËM~'ÂC’ ci7?EM“ÂC’

é^^V'^TX

On en déduit : cire EG X AC œ cire EM X CK. I.c premier membre de celle égalité représentant la surface du tronc de Cône, il en l'st de même du second meinbre. On peut donc .d ire encore que la surface, latérale d'un tronc de cône est égale à sa hauteur, multipliée parla circonférence qui a pour rayon l a perpendiculaire élevée sur le milieu du côté, jusqu’à la rencontre de l'axe.

Toutes CCS mesures conviennent aussi à la surface convexe d’un cône circulaire droit, car un cône est un tronc de cône doiil la base supérieure sc réduit à son centre.

r.ÉOMÉTIUE.

23o. Tout tronc de cône à bases parallèles est équivalent à trois cônes ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases respectives la base inférieure du tronc, sa base supérieure, la moyenne proportionnelle de ses deux bases.

D'après ce (pii préfède, le volume du tronc de cène proposé sera la limite des troncs de pyramide, réguliers ou non, qu’on y inscrira en doublant indéliniment le nombre de leurs laces. En désignant par h la hauteur du tronc de cône, par H' et b' les bases d’un ironc.de pyramide inscrit, le volume V' de ce tronc de pyramide aura pour expression (:233)

Désignons par V’ le volume du tronc de cône, par'B sa base inférieure, par b sa base, supérieure. V ' aura pour limite V ; h restera constant ; B' et b' auront pour limites respectives' B et b, de sorte que le produit R'b' aura pour limite le produH B 6. La somme R' y- b' -ys/Wb' aura donc pour limite la somme ‘ B -t-è 4- v'ÏT (132), et l’on pourra poser

v=|(B4-èVt/B6). . .

Désignons par R et par r les rayons des bases du tronc de cône proposé ; on aura

B = TT RS b=ity, v^Bè = y^ffR’.TT/-’ = irRr. ^

Il viendra par suite

V=^(R»-4»^ + Rr).

l n tronc de cône à bases parallèles est équivalent à la somme d'un cylindre et d’un cône ayant même hauteur que le tronc, et pour rayons de leurs bases respectives la demi-somme et la demi-différence des rayons des bases du tronc.

On peut, en effet, comme il est facile de le vérifier, remplacer la parenthèse R’ 4- r* -|- R r par la somme

On trouve alors

ce qui justifie l’énoncé.

Quand la différence .des ray ons R et r est très-petite, On peut négliger le second terme de l’expression, et regarder le cône tronqué comme équivalent à un cylindre de même hau-