I.— Théorèmes généraux sur la sphère

'■ 2o(). Toutesectîon faite par un plan dans une sphère, est un cercle {fig. 5,48 ).

Le théorème est évident lorsque le plan donné passe par le centre de la sphèrè ; en effet, tous les points de la surface sphérique (jui sont situés dans le plan sécant, sont à égalé distance du centre de la sphère tjoi est dans ce même plan.

Si le plan sécant ne passe pas par le centre de la sphère, soient trois points A, B, C, de la courbe d’intersection de ce plan avec la ^ surface sphérique. J’abaisse du centre O de la sphère la perpendiculaire 01 sur le .plan sécant, et je joins le pied I de cette perpendiculaire aux trois points A, B, C. Les rayons OA, OB, OC, de la sphère, étant des obliques égales, s’écarteront également du pied de la perpciiiliculaire et l’on aura IA = IB =. IC. La courbe .ABC est donc une circonférence de cercle dont le centre est en 1. Le rayon IC de cette circonférence est évidemment plus petit f|ue le rayon OC de la sphère.

Les plans (|ui passent par le centre de la sphère déterminent des cercles qui ont même centre, et par conséquent meme rayon que la sphère ; on les appelle grands cercles de la sphère.

Les plans qui ne passent pas par le centre de la sphère, dé terminent des petits cercles de la sphère.

On appelle pôles d’un cercle de la sphère les extrémités d’i diamètre do la sphère perpendiculaire an plan de ce cercle. Les points P et P' sont les pèles du cercle ABC. Deux cercles dont les plans sont parallèles, ont les mêmes pôles.

Tout diamètre de la sphère peut être pris pour axe de révolution de la surface sphérique

[fis- ’-49)-

Soit la sphère' engendrée parle demi-cercle P.\P' tournant autour de son diamètre PP'„

Fie 2^9.

CfOMÉTItlE.

Prenons un (liitnièlre quelconque AB de la sphère. Du plan passant par ce diamètre coupera la surface sphéri(]ue suivaiu une circonférence A(]B qui aura même centre et même rayon que la sphère proposée cl qui dès lors, en tournant autour du dia- , mètre AB, engendrera la surface sphéritiue qui termine cette sphère.

Par deux points donnée sur la surface sphérique, on peut toujours faire passer une circonférence de grand cercle, (àir on n’a qu’à mener un plan |)ar les deux points donnés et le centre de la sphère. Il n’y aura qu’une solution si les deux points ne sont pas situés aux extrémités d’un même diamètre ; il y en aura une infinité dans le cas contraire, parce que les deuv> points considérés seront en ligne droite avec le centre de la sphère. t

Tout grand cercle divise la sphère et sa surface en deux pin'ties égales. En effet, si l’on retourne la partiè supérieure pour la faire coïncider avec la partie inférieur(' [fg. ?5o), le cercle AB(’ coïncidera avec luimême, et la coïncidence des deux volumes ou des deux surfaces sera parfaite, puisque tous les points de ces deux surfaces sont également éloignés du centre 0 de la sphère

Deux grands, cercles se coupent mutuellement en deux parties égales. En effet, les plans de ces cercles passant par le centre de la sphère, se coupent suivant une droite qui est à la fois un diamètre de la sphère et un diamètre des deux cercles lonsidérés. . ,

Ü.a7. Deux petits cercles également éloignés du centre de la sphère sont égaux; de deux petits cercles inégalement éloignés du centre de la sphère, le plus éloigné est le plus' petit [fg. 2i5i).

Je fais passer un plan par le centre de la sphère et les centres des deux petits cerclés jiroposés. Ce plan coupera la sphère suivant le grand cercle ABI)(’., cl les deux petilsccrcles suivant leurs diamètres AB et til).

Les iierpendiculaires OF et OC abaissées du centre do la sphère sur les plans des deux petits cercles étant dans le plan ABDC, on voit immédiatemiMit (51) que si les distances OF et OC sont égales, les deux diamètres AB et Cl) seront aussi égaux ; eiijue si la distance ÜF est plus grande que la distance OC, le diamètre AB sera plus petit que le diamètre CD ; ce qui est d’accord avec l’énoncé.

Les récipro(|ues de ces deux propositions sont évidentes.

Kig . a JO .

r.ÉOMÉTBIE.

258. Tous les points de tn circonférence d’un cercle de la sphère sont à égale distance de chacun des pôles de ce cercle [Jlg. 25a).

En elïel les pôles I’ (‘l I*' éinni les niilcs <ln diiimèlre perpeudinilairc an jilan du cercle considéré, i‘l ce diamèlre pnssnni |)ar le ceiilre l de ce cercl<‘, les obliques l*V, 1*B, l'E, menées de l’nn des pôles aux différenls points de la circonrérence, s’écartent également dn pied de la [lerpetidicnlain' 1*1, (“t sont égales.

(]ctic propriété des pôles d'un cercle est importante. Elle permet de tracer des circonférences sur la surface si)liérique, de la même ntaniére (jii'on les tr.ice sur un plan. On se sert à cet effet d'un compas à brandies courbes, ap]iclé compas sphérique.On donne an compas une ouverture égale à la distance du j)ôle à l’un des points de la circonférence qu’on veut décrire, on place l’une des pointes du compas au pôb* choisi, et l'autre pointe, trace la cirrainférence demandée. En effet, si l’on mène par l’une des positions de la pointe mobile un plan per|iendiculaire au diamètre de la sphère (|iii jrasse par la pointe (ixe, on aura un cercle dont la distance polaire sera représentée par l’oiiNTrture donnée au compas sphérique ; la circonférence de ce cercle se confondra donc, avec la courbe tracée.

I..a distance polaire d’un cercle de la sphère, est la distance ' qui sépare son jiôle et l’un des points de sa circonférence (*). %. Des deux pôles d’un petit cercle, on ne considère (*n général ' que celui qui est le plus rap|iroché de son ]dan, c'est-iMlire (|ui est situé sur le même hémisphère.

Pour pouvoir tracer sur la surfitce sjihériquc des arcs de grand cercle, il faut savoir quelle distance polaire correspond

Fi(». a.'i3.

à un grand cercle. Si P est le pôle du grand cercle Altt] [Jig. 253), l’angle PO(] sera droit. I.e plan l'üE détermine d’ailleurs un grand cercle Pt;P' dans lc(|uel l’angle POE est un angle au ceritre ; l’atT P(^ sera donc égal au quart de la circonférence d’un grand cercle. Par conséciuenl, la distance polaire d'un grand cercle est la corde qui sous-tend le quart de sa circonférence. (.>n voit immédiatement (|ue les plan» de deux grands cercles sont perpendiculaires l'un à l'autre, lorsque le pôle de l'un de ces cercles se trouve sur là circonférence de. l’autre. En effet, le plan ,\PB contient alors la perpendiculaire OP au plan A('B.

(•) On peut cnmplpp colle dislanro, soit ok ligne droilc, «oU »ur la «tirrurc

sphérique (îl>7).

igo

GÉOMÉTlim.

Pour tracer des arcs de ^raiid cercle, nous venons de dire (|u’il fallait connaître la corde du quart d’une circonférence de };rand cercle; cette condition revient à déterminer le rayon de cette circonférence, c’est-à-dire celui de la sphère.

259. Troui.'er, par une conslruelion plane, le rayon d’une sphère donnée 254).

Fie- aS'i-

Je inai((ue deux points quelconques IM et N sur la surface sphérique. De chacun d’eux Comme pôle, avec une distance polaire plus grande que la moitié de l’arc de grand cercle qui joint les points M et N, je décris deux arcs qui se coupent en un point A également distant des points M et N. Je délcritiine de la même manière deux points B et (i également éloignés des points M et N. Le plan qui passera par les trois points A, B, L. sera perpendiculaire sur le milieu de la corde MN et sera le lieu géométrique de tous les points de l'esfutce à égale distance des points M et N (103) : il passera donc par le centre O de la sphère, et la coupera suivant un grand cercle dont la circonférence contiendra les trois i)oinls A, B, C.

Si l’on mesure alors les distances AB, AL, BC, et si l'on construit sur un plan un triangle dont les côtés soient ces trois distances, la circoid'érence circonscrite à ce triangle sera identique à celle d'un grand cercle de la sphère, et son rayon sera celui de la s|)hère.

260. L(! rayon de la sphère une fois déterminé, on |)cut résoudre tous les problèmes suivants.

Fa’nx‘ passer une cireonférenee de p;rand cercle par deux points donnés sur la surface sphérique {fig. 255).

Iles points A et B comme pôles, je dt’-cris deux arcs de grand cercle (258). Les arc^ se rencontreront en un point I’ qui sera le pôle de la circonférence de grand cercle demandée. En elfet, les angles l’OA, POB, étant droits, la droite OP menée ilu centre de la sphère au point P sera perpendiculaire au plan AOB. Le point P siua donc le pôle de la circonférence déterminée parce |)lan (250).

Si les points A et B étaient aux extrémités d’un même diamètre, les arcs tle grand cercle décrits des jioints A et B conmie pôles formeraient une seule et même circonférence dont tous les points pourraient être pris successivement pour pôles de la circonférence demandée ; le problème aurait donc, conmie nous l'avons déjà remarqué (250), une infinité de solutions.

r.ÉOMÉTRlE.

Mener par un point Je la surfave sphérique un grand cercle perpendiculaire à un grand cen le donné {Jig. 25G).

Du point donné A comme pôle, je irnce un arc de grand cercle (jui vient couper au point r le grand cercle donné OB. Du point P comme pôle, je décris un arc de grand cercle AB, qui passe nécessairement par le point A et est perpendiculaire au grand cer-

clçOBtcardeuxgrandscerclessontijerpen-

diculaires 1 un a 1 autre, lorsque le pôle de l’un est sur la circonférence de l’autre (2o8).

Diviser en deux parties égales un arc de grand cercle

Je détermine sur la surface spliérique deux points C et I) également éloignés des extrémités A et B de l’arc de grand cercle donné (259). Je fais passer un grand cercle par les deux points C et D. J.e plan de ée grand cercle sera le lieu géométrique de tous les points de l’espace à égale distance des points A et B; le point I on il coupera l’arc AB, sera donc le milieu de cet arc.

C’est la môme construction qu’il faudrait employer pour tracer un arc de grand cercle perpendiculaire sur le niilieu d’un autre arc de gratid cercle.

Le grand cercle CD divise aussi en djnix parties égales tous les arcs de petits cercles qui passent par les points A et B, parce que tons ces arcs ont pour corde commune la droite AB <|ue le plan du grand cercle CD partage perpendiculairement en deux parties égales.

taire passer un petit cercle par trois points donnés sur la surface de la sphère [Jig. a58).

Fi(î aS8. Soient donnés les trois points A, B, C; je

mène le grand cercle DE perpendiculaire sur le inilien de l’arc AB, et legrand cercle FC perpendiculaire sur le milieu de l’arc BC. Ces deux arcs de grands cercles se couperont en un point F (pii, appartenant à l’intersection des deuxgrandscerclesperpendiculairesanx cordes 'B et BC, c est-à-dire au plan ABC, «lera l’extrémité du diamètre perpendiculaire à ce plan ou le pôle du petit cercle ABI,. 11 ne restera donc plus qu’à décrire un petit cercle, du point P comme pôle, avec la distance polaire PA.

On voit que le problème revient à trouver le pôle du petit cercle .ABC.

20i. Un plan est tancent à la sphère lorsqu’il n’a avec elle (.jii un point roninuin iippolo point de contoct ,

«iÉÜMÉTIllE.

l’oul plan perpendiculaire à iexiréniité (tan rayon est lanf'ent à la sphère; réciunKiucmcnl, tout plan tangent à la sphère fij,, j-jg. perpendiculaire à l'extrémité du

ray'on mené au point de contact'

Soii le plan M> perpciuliculaire à l’exlréniiLé du ravon OA. Je joins un point B quelconque de ce plan au centre de b sphère : OB, oblique par , rapport à la perpendiculaire 0 V, sur-

passera 0 \, et le point B sera extérieur i\ la sjilière. Le pbn MN n’aura donc que le point A coniimin avec la s])hère, et lui sera tangent en ce point.

Réciproquement, supposons tiuè le plan MN /owe/te la sj)hère au point A. Tout autre point B du plan étant extérieur à la sphère, on aura üB>0\. l.e ravon OA, plus courte distance du centre de la sphère au plan’MN, sera perpendiculaire à ce plan au point A (11)2).

/•'('(/■ un point de la su 1 face de. la sphère, on peut donc toujours lui mener un plan tangent, mais un seul ; car, par un point d’une droite, on peut toujours lui mener un plan perpendiculaire, mais un seul (

On dit (pie deux sphères sont tangentes, lorsqu’elles ont en un point commun un plan tangent commun. Le point côinmun est le point de contact des deux sphères.

Lorsi]iie deux sphères sont tangentes, leur point de contact est situé sur la ligne des centres. En effet, les rayons 0\, O' A, menés au point de contact \ {Jig. 260), sont perpendiculaires au plan langent commun MN, en un même point : ces deux rayons se confondent donc avec la ligne des centres 00'.

21)2. Deux sphères peuvent avoir, comme deux cercles ((iO), cin(| positions différentes, l u ne par rapport à l’autre : elles penvenl Hrcextérieiires, tangentes extérieurement, sécantes, tangentes i nié ri euremen t , in té ri eu res.

Si on coupe les deux sphères considérées, par un plan qui contienne leur ligne des centres, ces deux sphères pourront être regardées comme engendrées par le mouvement des deux sections obtenues, autour de la ligne des centres, et les circonférences génératrices occuperont runcpar rapport à l'aulie la même position que les deux sphères corn'spomlantes. Cette remanjue rend évidents les énoncés suivants :

CÉOMÉTIIIE.

Lorsque deux sphères sont extérieures, lu dislunce des centres est plus grande que la somme des rayons.

Lorsque deux sphères ^sont tangentes extérieurement, la distance des centres est égale à la somme des rayons.

Lorsque deux sphères sont sécantes, la distance des centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence.

Lorsque deux sphères sont tangentes intérieurement, la dis- 'tanee des centres est égale à la différence des rayons.

Lorsque deux sphères sont intérieures', la distance des centres est plus petite que la différence des rayons.

“Lorsque deux sphères se eoiiponi, le plan conduit par leurs centres A et U [fig. 261) détermine deux grands cercles dont la corde commune est coupée j)cr-

pendiculairemcnt en son» milieu 1 parla

V \ ligne ML Si les deux grands cercles toiir-

' 1 1 \ \ lient autour de AB pour engendrer les

' ■* ly ® y deux sphères, le point commun L en-

y gendrera rintersection des deux surfaces " sphériques. Cl étant |ierpendiculaire .à

l'axe AB au point 1, engendrera un plan perpendiculaire à AB au point I (159), et le point C décrira dans ce plan une cir- . conférence de cercle dont le point I sem le centre*. l’ar suite r intersection de deux surfaces sphériques est une circonfé- ' rence, dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres et dont le centre est sur cette ligne.

Les réciproques des cinq théorèmes précédemment énoncés sont évidentes.

263. Par quatre points non situés dans un même plan, on peut toujours faire passer une sphère , mais on n’en peut faire passer qu'une.

Soient les quatre points A, B, C, D {ftg. 262), non situés dans un même plan. Soit E le centre de la circonférence déler-

Fig. sGa.

minée par les trois points A, I), C; soit F le centre de la circonférence déterminée par les trois points , A, B, C. La perpendiculaire EG élevée par le point E au plan AD(] aura tous ses points à égale distance des points A,l),C(t62); la perpendiculaire Fil élevée par le point F au plan ABC aura tous ses points à égale distance des points A, B, C. Les deux perpendiculaires EG, Fil, se couperont nécessairement en un point O.En effet, abaissons de chacun des points E et F des perpendiculaires sur l'inlersection AC des

üÉÜMÉÏlUE.

(Idiix i)lans \1)(;, AIM'. (les perpeiKliculairesviendroiupasser loules les <leiix par le point K milieu de ACl (o3). Elles détermineront donc un plan perpendiculajrc'à AC et, par suite, aux plans ADC et ABC. Les perpettdieulaires E(1 et FII seront dès « lors dans le plan EKF ( 183), et elles se rouperont ; ear si elles étaient parallèles, les deux perpendiculaires KK, KF, seraient en ligne droite, et les deux plans ADC, ADC, se confondant comme menés par les mêmes droites sécantes AC, EF, Ica (juatre points donnés seraient dans un même plan. <

I,e point () do rencontre des perpendiculaires EG et FU. éuint à la fois à égale distance des (juatre points A, B, C, 1), la sphère décrite du point 0 comme centre, avec OA pour rajo'n, passera par les cjualre points ilonnés.

Ee point (J de rencontre des deux droites EG, FU, étant unique, il n’j a aussi qu’une sphère qui puisse passer par les quatre points considérés.

Deux sphères (lui ont quatre |)oints communs coïncident dans toute leur étendue, si ces (|uatre points ne sont pas dans un même plan ; car elles ont alors même centre et même rajon.

2()4. L'angle Je deux ares de ç^rand cercle est l'angle dièdre formé par leurs plans ; les arcs de grand cercle sont les côtés (le l'angle , leur point d’intersection est son sommet.

l^'an^le de deux arcs de cercle a pour mesure faiT .

Je grand cercle décrit de son sommet comme pôle et compris entre ses côtés (Jig. 9.6.S).

Soit l’angle formé par les deux arcs PAl*', l‘Bl*'. Du point jîiM P, sommet de cet angle, je décris l’arc de grand cercle AB.

Chacun (les arcs PA, PB, étant égal au quart de la circonférence d’un grand cercle, les angles au centre POA, POB, seront droits, et l’angle AOB sera Fangle rectiligne de , l’angle dièdre APP' B. L’arc AB mesurant l’angle au centre AOB, mesure aussi l’angle dièdre APP' B.

Si l’on prend sui la circonférence dont fait partie l’arc AB, un arc \p égal au quart d'une circonférence de grand cercle et un arc B/>, , égal à l’arc Ap, l’arc pp,, . sera nécessairement égal à l’arc AB. Mais le point p est le piMe de l’arc PA, le point p, est le pôle de l’arc PB. On peut donc dire encore que l'angle \PB a pour mesure l'arc de grand cercle qui joint les pôles de ses côtés.

Les angles adjacents ABP, PB(^ sont évideimuent supplémentaires; les angles opposés par le sommet APB, CPD, sont évidemment égaux.

GÊOMÉTKIE.

11 y a une de {grands cercles l'aisani avec un grand

cercle donné un angle donné. Si l'on suppose que le grand cercle donné soit PAP', et que l’angle donné soit mesuré par l'arc AB, le lieu des piMesde tous les grands cercles répondant à la question sera la circonférence de petit cercle décrite du point P comme pôle avec la distance polaire pp,, égale à AB.