II. — Dn triangle sphérique

265. On appelle polygone sphérique la portion de la surface sphérique comprise entre plusieurs arcs de grand cercle,

■ Ces arcs, limités à leurs points d’intersection, sont les côtés du polygone, les angles qu’ils forment et les sommets de ces angles sont les angles et les sommets du polygone.

Le nombre des côtés se réduisant à trois, on a un triangle sphérique.

Un polygone sphérique est convexe, lorsqu’il est situé d’un môme côté par rapport à chacune des circonférences de grand cercle formées par ses côtés prolongés; il est concave dans le cas contraire.

Un polygone sphérique convexe ne peut être renconiré eii plus de deux points par un arc de grand cercle.

Les côtés d’un polygone sphérique convexe sont nécessairement moindres qu’une denii-circonférencé de crrand cercle

[fin- 2i>4)-

' Si le côté AB, par exemple, était plus grand qu’une demicirconférence, la circonférence dont fait partie le côté AE Fig. 26,'|. couperait le côté AB en un second point 1 situé entre A et B, de manière que Al représentât une demi-circonlércnce (256).

Le polygone proposé ne serait donc plus situé d’un même côté par rapport aux circonférences formées par ses côtés prolongés.

266. En joignant les sommets d’un polygone sphérique ABCl) au centre 0 de la sphère (Jig. 265), on forme un angle polyèdre O \ïli]U dont les angles plans AOB, BO(^ etc., sont mesuiés par les côtés Fig. 965. AB, BC, etc., du polygone, et dont les angles dièdres OA, OB, etc., sont piécisémenl les angles A, B, etc., du polygone.

A chaque propriété des angles trièdres ou polyèdres, correspond donc une propriété analogue des triangles ou polygones sphériques ; et pour énoncer cette propriété, il suffit de^ remplacer le mot angle plan par le mot côté et le. mot angle dièdre par le mot angle.

Si l'on prolonge les arêtes de l’angle polyèdre OABt;i> au-

IQfî CÉOM^TRIE.

(lelii <lii sommet O, on forme un aii^Je polyèdre symélri(|ue 0\'B'(71>' (1B7), qui détermine sur la surface «le la sphère un polygone A'B'C'I»'. Les deux polygones AB(d), A'B'C'I)', dont toutes les parties sont égales, mais disposées dans un onirc inverse, sont appelés polygones sphériques 5>7né/i7(/f/ef.

lilT-'.-Ui.

2f)7. Ihins tout Iriun^le spliérùiue , cliiiqiie côté est ,plus petit (fue la somme îles deux autres ; ht somme des trois côtés est inférieiiie <> une circonférence de ^rand cercle (fg. afUi).

Au triangle sphérique \BC correspond itn angle trièdre (IVBL dont le sommet est a«i centre de la sphère. Scs angles j)lans sont mesurés 1 1'!»’ ciMés du triangle, ses angles dièdres sont

•'< ceux du triangle.

L’angle plan AOB étant plus petit que la somme des angles plans BüC, .AOL (188), l'arc AB sera plus petit que la somme «les arcsBt^et AL. De im'tne, la somme «les trois angles plans AOB, BOL,, VOL,, étant moindre que quatre angles droits 18!>), la somme des trois arcs AB, BL, Afi, sera moiiiilre qu’une circonférence de grand cerclé.

I,e théorème «pi’on vient de démontrer est vrai pour un polygone si)hérique Convexe quelconque.

En s’appuyant sur ce théorème, on prouve qui* la liç^ne la plus courte entre deux points A et B de la surface spltéritjtte est un arc de grand cercle [fg. 267 ).

En effet , toute autre ligne ADLEB, menée, entre ces deux points, surpasse l’arc de grand cercle AB qui les joint. Nous supposercSns d'abord cet arc plus j)etit*qu’une demi-circonférence.

Je prends un point L sur la ligne ADLEB, et je le joins par des arcs de grand cercle aux points .V et B. fin a alors, dans le triangle sphérique ABC,,