LP.NO.MR = LQ.NR.MP

Fig. i5.

If.

GÉOMÉTRIE

Celte dernière relation prouve (16), en considérant toujours te triangle PQR, que les trois points L, M, N, sont en ligne droite.

Le théorème qu’on vient de démontrer est vrai, lors même que l’hexagone inscrit proposé n’est pas convexe.

Il ne dépend pas de la grandeur des côtés de l’hexagone, c’est-à-dire qu’il subsiste encore lorsque quelques-uijs de ces côtés sont remplacés par des tangentes à la circonférence.

Par exemple, un,trinngle étant inscrit dans une circonférence, si l’on mène par ses sommets îles tangentes à la circonférence, les points de concours de ces tangentes avec les côtés opposés aux sommets considérés seront en ligne droite.

Enfin, cette propriété remarquable de l’hexagone inscrit à la circonférence n’est qu’un cas particulier du théorème général connu -sous le nom de théorème de Pascal et qui s’énonce ainsi :

Dans tout hexagone inscrit à une courbe du second ordre (*), les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite.

Diviaion harmonique des lignes droites.

24. Trois nombres forment une proportion harmonique, lorsque le rapport de l’excès du premier sur le second à l’excès du second sur le troisième, est égal au rapport du premier nombre au troisième.

La dénomination employée vient de ce que, lorsqu’une corde sonore rend l’accord parfait ut, mi, sol, elle est frappée successivement en trois points qui correspondent à des longueurs de corde proportionnelles aux

nombres i , -r •

donnant précisément la proportion

25. Lorsqu’on prend sur une droite AB et sur son prolongement (y%. 26), deux points C et D tels, que leurs distances aux extrémités de la droite AB Pjj, jg soient proportionnelles, on peut

écrire la prqportion BD^ BC “ AC

sous la forme suivante ;

AD — AB AD ;VB - AC “ ÂC'

Donc, les trois longueurs AD, AB, AC, constituent alors une proportion harmonique, et l’on dit que la droite AB est divisée harmoniquement aux points C et D, qu'on appelle points conjugués lutrmoniques par rapport à cette droite.

(") On entend par courbe du second ordre toute courbe repréaentéc, en coordonnées rectilignes, p»r une équation du second degré à deux variables. (Vo(> la Giemetric ûnalrtiijue, i. 111. )

e.ÉUMÉTBIR.

Réciproquement, la pro[>ortion ^ ^ donna