DB ~ BC EA AB FC AC

Si l’on multiplie ces égalités membre à membre, il viendra

DA. EC.FB

DB. EA.FC“'’

DA.EC.FB = DB.EA.FC, et les trois bissectrices sont concourantes (18).

23. Dans tout hexagone inscrit à une. rirconfèrenre, les points de concours des côtés opposés prolongés deux à deux sont en ligne droite

Les célés opftosés sont séparés par deux rétés eonséaiiifs. Ainsi, les côtés opposés AB et’ DE se coupent en L, .les côtés opposé.s BC et EF se coupent en M, les rétés opposés CD et FA se côupenl en N. Il faut démontrer que les trois points L, M, N, sont en ligne droite.

Les côtés non consécutifs BC, DE, F.\, de l’hexagone, déterminent par leurs rencontres le triangle PpR. Ce triangle est coupé par les transversales ABL, CDN, EFM,qui sont précisément les trois autres côtésde l’hexagone. En appliquant successivement à chaque transversale le théorème fondamental (1S), on aura;

lp.ao.bb = lq.ar.bp,

■ NQ.CR.DP = NR.CP.DO,

MR.EP.FQ = MP.EQ.fr.

» ^ Si l’on multiplie alors ces trois égalités membre à membre, en remarquant que (Géom., 111 )

BR. CR = AR.fr,

FQ.AQ = EQ.DQ,

DP.EP = CP.BP,

il viendra