N>MN, CB > MN

53. Trouver le point dont la sntnme des distances à trois points donnés non en li/rnc droite, est un niinhnian 55).

Soient' A, B, C, les trois points donnés, 0 le point cherché. La somme AO 4- BO -i- CO devant être un minimum, si l’on suppose que AO demeure constant, en conservant la valeur vou- Fic 55. lue, il faudra que la somme BO-I-CO soit

aussi un minimum. Le point 0 se trouve, dans \ l’hypothèse indiquée, sur une circonférence „ / \ décrite du point A comme centre, avec AO

\ s \ pour rayon. La somme BO CO sera donc

\J — ) un minimum, quand les deux lignes BO et CO / / feront des angles égaux avec le rayon AO. En

\ effet, elles seront alors également inclinées

\ \ '\T sur la tangente MT au point O. Par suite, par

\ \ A T rapport à tous les points de cette tangente, et

y à plus forte raison, par rapport à tous les

c points de la circonférence qui est entièrement

située au delà de MT, la somme BO -1- CO sera bien un minimum (5, 1°). On venait, par un niisonnomcnt analogue, que lus lignes AO et Bf) doivent

être égalomcnt inrliiiÉes sur CO. I.es trois angles formÉs autu\ir du point O par les lignes AÜ, BO, CO, doivent donc titre égaux entre eux, et chacun

doit représenter | d’angle droit. On obtiendra, d’après cela, le point O en

décri van l sur chacun des côtés du triangle ABC un segment capable de 1 20".

"1-t. Trouver Ir point dont ta somme des distances h dcu.r /xiints donnés et à une droite donnée, est un minimum (Jig. 5(>). (I.es doux points donnés sont supposés d’un même côté de la droite donnée.)

Soient A et B les deux points donnés, MN la droite donnée, O le point cherché. Si par le point O on abaisse OP perpendiculaire sur MN, la somme AO + BO + OP doit être un minimum. On peut dès lors considérer le point P au lieu de la droite MN. La somme des distances du point O aux trois points A, B, P, devant être un minimum, il faut (,')3) que les trois angles formés autour du point 0 soient égaux. Mais, de plus, si l'on mène par le point O une parallèle KL à MN, comme tous les points de cette parallèle sont à la même distance de MN, il faut que la somme AO + BO soit un minimum par rapport à cette parallèle. I.es droites AO et BO doivent donc faire des angles égaux avec cette parallèle (5, i“) ou avec MN; et, comme ces mômes lignes doivent faire avec

OP des angles égaux ^ | do droit (S3), elles feront avec MN des angles

égaux à ^ de droit. Il suffira de mener par les points A et B des droites

remplissant cette conditiop, et elles se couperont au point O demandé.

.'>5. Parmi tous les triangles formés avec deux cAtés donnés, celui dans lequel ces côtés sont perpendiculaires, a Caire maximum {fig. 5y)

Soient AB et AC les deux côtés donnés ; ils déterminent un triangle rectangle CAB. Le point C restant toujours à la même distance du point A, considérons un second triangle C'AB. Menons la hauteur C'D' de ce second triangle. On aura C'D'<C'A ou que CA. Les deux triangles CAB, C'AB, ayant même base, celui qui a la plus grande hauteur a la plus grande aire. *

Fig. 57

Fig. sr..