MB.MC = MD.ME

relation qui prouve la proposition énoncée (Géoni., fl2).

La considération des axes radicaux simpliffe beaucoup les problèmes sur les contacts : nous en doimeroDS des exemples.

'Application.

&4. Trouver le lieu géométrique des centres des circonférences qui coupent h angle droit deux cireonférences données (Jig. 69)

L’angle de deux courbes est l’angle de leurs tangentes au point d’intersection. Si cet angle est droit et si les deux rourlx>s sont des circon-

Cérences, les rayons menés dans chacune d’elles à un même point d’intersoction seront aussi à angle droit. Dans le cas considéré, les rayons OT et O'T' qui joignent les centres O et 0' aux |K)ints d’intersection des circonférences données avec Func des ci rconfércnces cherchées, seron t donc tangents à cette môme circonférence. On obtiendra donc son centre .M en menant les perpendiculaires TM et T'M aux rayons OT et O'T'. Mais ces tangentes aux deux circonférences 0 et 0' devant être égales comme rayons du cercle demandé, le contre àl de ce cercle appartiendra à l’axe radical des circonférences 0 et 0' : cet axe radical se confond donc avec le lieu géométrique demandé. .

Il est facile do voir que la ligne des centres 00' est à son tour un axe

Fig. 69.

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GÉOMÉTIUE.

radical, commun à tous les cercles qui coupent urlho^’onaleincMii les cordes O et ()'. En effet, les tangentes menét'S du point 0 à tous ces -cercles sont égales comme rayons du cercle O; de meme, celles menées du point Ü', sont égales comme rayons du cercle O'. Par suite, les deux points O et O' appartiennent à tous les axes radicaux des cercles M considérés doux à deux : 00' est donc bien un axe radical commun à tous ces cercles.

Centres de similitude.

■ 63. Nous avons vu ( Génm., iOl ) ce qu'on entendait par centres de simi- .. litudo directe ou inverse de deux polygones. Nous voulons compléter ici

cette importante théorie. ,

Deux po/rgunes scmblnbles, placés de manière à avoir leurs côtés deux à deux parallèles et dirigés dans le meme sens ou en sens contraire, ont un centre de similitude directe ou inverse (Jig. 7° )•

Soient les sommets homologues k,a. B, 6. Prolongeons les droites An

■ et B A jusqu’à leur point de rencontre O, puis joignons ce point O aux

. autres sommets C, c, D, r/,

Fifr. -jo. ' E,c. Les triangles sembla-

bles ABO, «AO, donnent ^0B ab OA On a d'ailleurs

^ BC ab~ bc'

donc

BC' OB bc OA

Mais les angles ABO et «AO étant égaux ainsi que les angles ABC, «A , les angles OBC, OAc, seront nécessairement égaux. Par suite, les triangles OBC, OAc, seront semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. L'angle BOC sera donc égal à l'angle AOc, c’est-àdire que les points B, A, 0, étant en ligne droite, il en sera de même des points C, c, 0. On continuera cette démonstration de proche en proche, et l’on en conclura que le point O est un centre de similitude directe ou inverse des deux polygones.

On peut aussi considérer doux points homologues M et m, intérieurs ou extérieurs aux deux polygones, et prouver que la ligne M m passe également par le centre de similitude 0.

En effet, les |>oints M et m étant homologues, AM sera parallèle à am, l’angle OA.M égal à l'angle Oam, et l’on aura

am «0

Les deux triangles AüMet«0«< seront donc semblables, l’angle AOM sera égal à l’angle «0/n, et les trois points M, m, 0, seront en ligne droite.

Ainsi, quand deux /xdjgo/ies semblables sont placés de manière à avoir un centre de similitiule (*), toute ligne joignant deux /xiints homologues

(*) Pour al)rogcr, on peut Appeler ilcux piircil!- poljgiitie» : hotHOlhcti(juet ‘tords ou iiivrrics. ((^UAüLE!..)

GÉOMÉTRIE. a65

rnttiu /ié.\ comme un vuiu/rii tmj: deux pofyfjo/ies, contient le centre de iimilitude.

(>C. Lorsque deux polygones sont placés de manière à avoir un centre de similitude directe ou inverse par rapjmrt à un troisième /tolygone, ils admettent par rapport à euxmemes un troisième centre de similitude directe ou inverse; en d'autres termes, deux /«lygoncs homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux [fig. 71 ).

Soient les polygones ABC, abc, homothétiques au polygone afy. Les côtés AB , ab, parallèles au côté a, 5, seront parallèles entre eux, et dirigés dans le même sens ou en sens contraires suivant que leur homothétie par rapport au polygone a.pq sera ou non de même nom. On jwurra en dire autant des autres côtés BC , bc, CA , ca. Par conséquent (65), les deux polygones ABC, abc, seront homothétiques directs ou inverses, suivant que leur homothétic par rapport au polygone apv sera ou non de meme nom.

' B résulte dè celte dernière remarque que, parmi les trois systèmes formés en considérant deux à deux les pofygones donnés, il y en aura toujours un nombre impair ( c’est-À-diro un ou trois') dont Plusmothétie sera directe.

67. Ceci posé, les trois- centres de similitude qui correspomlent aux systèmes obtenus, sont toujours en ligne droite (Jig. 71 ).

Soient O, 0', 0”, les trois centres de similitude. Désignons par X le point qui, rattaché au polygone abc, est l'homologue du |X)int Ü' rattaché au polygone apy. O" étant le centre de similitude des polygones abc, apy, le point X se trouvera nécessairement sur la droite 0*0', cX sera parallèle à 7 ü' ou à CO', et l'on aura la proportion ( 65 )

cX bc

Le point 0* étant rattaché au polygone ABC, son homologue par rap|>url au (Kilygone abc sc trouvera sur la droite 00' et sur la parallèle cX à tX>’, en un point X, tel, qu'on ait

rX, /«■

cev ” w;

On a d’aitleurs

G^.OMÉTIME.

ï£' rV CO' ~ BC'

Les conséquents des deux premières proportions considérées formant proportion, il en sera de même de leurs antécédents, et il viendra

fX bc

7\,~ fc'

Le point X, se confond donc avec le point X, et la droite O'O' qui contient le point X, avec la droite ÜO' qui contient ce même point.

Quand la similitude est riircrtr, le centre de similitude est cTtcrne; il est interne, quand la similitude est inverse. Les trois polygones donnés, considérés deux à deux, peuvent donner six centres de similitude, trois externes et trois internes. D'après ce qui précède (66), les trois systèmes qui correspondent à une position donnée des trois polygones, admettent un ou trois centres de similitude directe. Par conséquent, les trois rentres lie similitude externes sont en ligne droite; ou bien, deux centres internes et le centre externe correspondant nu troisième rentre interne, sont en ligne droite.

68. La théorie des centres de similitude simplifie beaucoup l'emploi do la méthoilc des figures semblables (6). Reprenons, pour le montrer, le problème suivant déjà résolu d'une autre manière (7, i“) : Inscrire Ki(j. 7». dans un triangle donné ABC un trian-

gle semblable à un autre triangle donné

•Iff [.fis- 7»).

Il s'agit d'inscrire dans le triangle ABC un triangle dont les côtés soient parallèles à ceux du triangle def. On tracera donc, dans le triangle ABC, <1 f parallèle à df; puis tfe' eife' respectivement parallèles à r/e et à fe. Le triangle d'f e' ainsi formé sera homothétique au triangle cherché DFE, et le |)oiiit A sera pour ces triangles un centre de similitude externe (65).

On mènera donc la droite A e' qui viendra couper le côté BC au sommet E. Il ne restera plus qu’à tracer par ce sommet des parallèles anx côt^ ed, ef.

69. On peut étendre facilement anx circonférences ce qu'on vient de dire des polygones semblables.

Deux rireonfércnces quelconques sont des figures semblables, et leur rapport de similitude est égal à celui de leurs rayons (fig. 78).

Soient les circonférences C et C'. Prolongeons la ligne des centres OC', et menons les rayons parallèles CA et C'o. I.a ligne \a prolongée coupera CC' au {>oint O, et nous aurons

Ofl C'rt , ,

rrr = Trr = COnSlantC.